Um polígono regular inscrito numa circunferência tem n vértices A1,A2,...,An. Sabe-se que existem dois lados…

Questão

Um polígono regular inscrito numa circunferência tem n vértices A1,A2,...,An. Sabe-se que existem dois lados opostos paralelos. a) Mostre que n é par. b) Seja a o ângulo inscrito formado por três vértices consecutivos Ai-1, Ai, Ai+1. Expresse n em função de a e calcule a quando n = 12.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Se há lados opostos paralelos, a rotação de 180° leva um lado ao oposto; isso corresponde a deslocamento por k vértices tal que k·(360/n)=180°, logo k=n/2 é inteiro ? n é par. b) O ângulo inscrito em Ai intercepta o arco formado por dois lados consecutivos, cujo ângulo central é 2·(360/n); porém o ângulo inscrito vale metade do arco: a = (1/2)·2·(360/n) = 360/n. Assim n = 360/a. Para n = 12, a = 360/12 = 30°.

Explicação

A presença de lados opostos paralelos implica que a figura pode ser dividida em duas partes simétricas, o que só ocorre em polígonos com um número par de lados. O ângulo inscrito é relacionado ao ângulo central, e a relação entre eles permite expressar o número de lados em função do ângulo inscrito. Ao substituir n por 12, o cálculo do ângulo resulta em 30°, confirmando a relação encontrada.

Raio-X da questão

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