Considere uma circunferência de centro O com um polígono regular inscrito de n lados e vértices consecutivos…

Questão

Considere uma circunferência de centro O com um polígono regular inscrito de n lados e vértices consecutivos V1,V2,...,Vn. Seja um ângulo inscrito que intercepta um arco formado por m lados do polígono (isto é, o arco entre dois vértices cobre m arcos centrais). a) Expresse a medida desse ângulo em função de n e m. b) Se m = 3 e o ângulo inscrito mede 60°, determine n, mostrando todos os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Cada arco unitário entre vértices tem medida 360°/n; um arco formado por m lados mede m·(360°/n). Um ângulo inscrito mede metade do arco que intercepta, portanto: ângulo = (1/2)·m·(360°/n) = (180·m)/n graus. b) Substituindo m = 3 e ângulo = 60°: (180·3)/n = 60 ? 540/n = 60 ? n = 540/60 = 9. Como n é inteiro e =3, n = 9 é solução válida. Verificação: arco por lado = 360/9 = 40°; arco de 3 lados = 120°; ângulo inscrito = 120°/2 = 60°, conforme dado.

Explicação

A medida do ângulo inscrito é calculada como metade da medida do arco que ele intercepta, que por sua vez é determinado pela quantidade de lados do polígono e pelo número de lados que formam o arco. Ao substituir os valores dados na equação, é possível encontrar o número de lados do polígono que satisfaz a condição do ângulo inscrito. A verificação confirma que os cálculos estão corretos, garantindo que a solução encontrada é válida.

Raio-X da questão

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