Um polígono regular de n lados está inscrito numa circunferência de centro O. Vértices consecutivos são…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um polígono regular de n lados está inscrito numa circunferência de centro O. Vértices consecutivos são A1,A2,...,An. O ângulo inscrito ?A1A4A7 mede 30°. Determine n e calcule as medidas, em graus, dos ângulos centrais correspondentes aos arcos A1A4 e A4A7. Apresente todas as relações usadas.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Em um polígono regular inscrito, cada arco entre vértices consecutivos mede 360/n. A diferença de índices entre A1 e A7 é 6, logo o arco A1A7 tem medida 6·(360/n)=2160/n. O ângulo inscrito ?A1A4A7 intercepta esse arco, então sua medida é metade: ?A1A4A7 = (1/2)·(2160/n)=1080/n. Igualando a 30°: 1080/n = 30 ? n = 1080/30 = 36. Assim n = 36 lados. O arco entre A1 e A4 corresponde a diferença de índices 3, então sua medida é 3·(360/36)=3·10=30°. O arco A4A7 também tem diferença 3 e mede 30°. Os ângulos centrais correspondentes a esses arcos coincidem com as medidas dos arcos: 30° para A1A4 e 30° para A4A7.
Explicação
A solução utiliza a relação entre ângulos inscritos e arcos correspondentes, aplicando a fórmula para a medida do arco em um polígono regular. O cálculo da quantidade de lados do polígono é feito a partir da relação entre o ângulo inscrito e a medida do arco interceptado. Finalmente, a medida dos ângulos centrais é igual à dos arcos, confirmando que ambos os arcos A1A4 e A4A7 medem 30°.
Raio-X da questão
polígonos regulares e ângulos
avaliacao
propriedades dos polígonos · ângulos centrais e inscritos
Revisar propriedades de ângulos em polígonos regulares.
O aluno pode confundir a relação entre ângulos inscritos e ângulos centrais, aplicando a fórmula incorretamente.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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