Em uma circunferência, os pontos A1, A2, ..., A? são vértices consecutivos de um polígono regular inscrito. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma circunferência, os pontos A1, A2, ..., A? são vértices consecutivos de um polígono regular inscrito. O ângulo inscrito A1A2A3 mede 90°. Determine o número de lados n desse polígono.
- A) n = 8
- B) n = 4
- C) n = 12
- D) n = 6
- E) n = 3
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Em um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência, os vértices dividem a circunferência em n arcos iguais, cada um medindo 360/n graus. (A notação 'A1, A2, ..., A?' no enunciado não afeta a resolução, pois basta saber que os vértices são consecutivos.)
- O ângulo A1A2A3 é um ângulo inscrito, com vértice em A2. Ele subtende o arco A1A3 que não contém A2. Esse arco é formado por dois lados do polígono consecutivos, mas tomado pelo lado de fora de A2, ou seja, pelos (n - 2) arcos restantes.
- Logo, o arco A1A3 (que não contém A2) mede (n - 2) vezes 360/n graus.
- Pelo teorema do ângulo inscrito, o ângulo inscrito vale metade do arco que ele subtende. Assim, A1A2A3 = (n - 2) vezes 180/n graus.
- Fazendo A1A2A3 = 90, temos (n - 2) vezes 180/n = 90, ou seja, 180n - 360 = 90n, o que dá 90n = 360 e n = 4.
- Verificação: no quadrado, o arco A1A3 que não contém A2 mede 180 graus e o ângulo inscrito vale 90 graus, como esperado.
- Por que as outras estão erradas: n = 8 daria 135 graus; n = 12 daria 150 graus; n = 6 daria 120 graus; e n = 3 daria 60 graus, pois no triângulo equilátero o ângulo inscrito vale 60 graus.
- Conclusão: a alternativa correta é a B, n = 4, coincidindo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a relação entre ângulo inscrito e o número de lados do polígono.
Alternativa por alternativa
Tomou o ângulo central A1OA3, que para n = 8 vale 2 vezes 45 = 90 graus, como se fosse o ângulo inscrito A1A2A3.
O ângulo A₁A₂A₃ intercepta o arco A₁A₃ que não contém A₂. Esse arco possui n − 2 partes iguais, enquanto cada arco entre vértices consecutivos mede 360°/n. Portanto, 90° = 1/2 · (n − 2) · 360°/n. Assim, 90n = 180(n − 2), então 90n = 180n − 360, 90n = 360 e n = 4.
Contou o arco como se fossem três lados (3 vezes 360/12 = 90) e igualou esse arco ao ângulo, sem aplicar a relação de que o ângulo inscrito é metade do arco.
Igualou o arco A1A3 a 90 sem dividir por 2, ou seja, tratou o ângulo inscrito como se fosse igual ao arco subtendido, o que levou a um valor de n que não corresponde ao ângulo de 90 graus.
Por que engana: O aluno pode confundir o ângulo inscrito com o ângulo central, aplicando a fórmula errada para calcular o número de lados do polígono.
Achou que, por A1A2A3 ser o próprio triângulo, seu ângulo deveria ser de 90 graus por associação com triângulos retângulos, sem calcular o ângulo inscrito do triângulo equilátero, que vale 60 graus.
Raio-X da questão
polígonos regulares
avaliacao
ângulos internos de polígonos · propriedades de circunferências
Revisar a relação entre ângulos inscritos e polígonos regulares.
O aluno pode confundir o ângulo inscrito com o ângulo central, aplicando a fórmula errada para calcular o número de lados do polígono.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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