Um polígono regular de n lados está inscrito em uma circunferência. Considere três vértices igualmente…

Questão

Um polígono regular de n lados está inscrito em uma circunferência. Considere três vértices igualmente espaçados A_i, A_{i+m}, A_{i+2m} com m inteiro positivo. Sabe-se que o ângulo inscrito em A_{i+m} mede 30°. Determine todas as possibilidades para n em função de m e o menor valor possível de n.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Se os vértices são igualmente espaçados, o arco entre A_i e A_{i+2m} corresponde a 2m arcos unitários ou ao complemento n-2m; o ângulo inscrito mede metade do arco menor. Seja s = min(2m,n-2m) (número de lados do arco menor). Em graus, ângulo = s·180/n. Igualando a 30°: s·180/n = 30 ? s = n/6. Assim s = n/6 e s = min(2m,n-2m). Duas alternativas: 1) se o arco menor é 2m, então 2m = n/6 ? n = 12m. 2) se o arco menor é n-2m, então n-2m = n/6 ? (5/6)n = 2m ? n = 12m/5, que exige 5|m para n inteiro. Portanto, as soluções são n = 12m para qualquer m?N, ou n = 12m/5 quando m é múltiplo de 5. O menor valor possível de n ocorre para m=1 (caso 1), dando n_min = 12.

Explicação

A análise do problema envolve a relação entre o ângulo inscrito e os arcos formados pelos vértices do polígono, levando à equação que relaciona o número de lados n e a distância m entre os vértices. A partir da condição do ângulo de 30°, foram derivadas duas situações que resultam em expressões para n, permitindo identificar as soluções válidas. O menor valor de n foi encontrado ao considerar m=1, resultando em n=12, que é a solução mais simples e direta.

Raio-X da questão

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