Durante o monitoramento de uma unidade de conservação brasileira, pesquisadores registraram que 20% das…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante o monitoramento de uma unidade de conservação brasileira, pesquisadores registraram que 20% das borboletas observadas pertencem a uma espécie de coloração opaca. Para uma análise estatística, será considerada uma amostra aleatória de 10 borboletas, tratando a ocorrência de cada borboleta como independente das demais e mantendo a proporção observada na população. Com base nos dados do monitoramento, qual é a probabilidade de a amostra conter pelo menos 2 borboletas da espécie de coloração opaca? Apresente o resultado arredondado para três casas decimais.
- A) 0,107
- B) 0,624
- C) 0,800
- D) 0,376
- E) 0,268
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. São 10 borboletas independentes, cada uma com probabilidade p = 0,2 de ser da espécie opaca. Isso é uma distribuição binomial com n = 10 e p = 0,2.
- Traduza 'pelo menos 2' para o complementar. P(pelo menos 2) = 1 - P(0) - P(1), pois os casos possíveis com menos de 2 são nenhuma ou exatamente uma borboleta opaca.
- Calcule P(0) = 0,8^10 = 0,1073741824 (nenhuma opaca).
- Calcule P(1) = 10 x 0,2 x 0,8^9 = 2 x 0,134217728 = 0,268435456 (exatamente uma opaca).
- Some e subtraia de 1: 1 - 0,1073741824 - 0,268435456 = 0,6241903616, que arredondado para três casas decimais é 0,624.
- Conclusão. A resolução independente confirma a alternativa B, igual ao gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A (0,107) é apenas P(0), a probabilidade de nenhuma borboleta opaca; C (0,800) é a probabilidade de uma borboleta não ser opaca, sem relação com a amostra de 10; D (0,376) é P(0) + P(1), que responde a 'no máximo 1' e é o complementar correto; E (0,268) é apenas P(1), a probabilidade de exatamente uma borboleta opaca.
💡 Dica: Utilize a fórmula da probabilidade binomial para resolver.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou apenas a probabilidade de nenhuma borboleta ser opaca, 0,8^10, e tomou esse valor como resposta para 'pelo menos 2'.
Por que engana: Calcular a probabilidade de capturar menos de 2 borboletas opacas, em vez de pelo menos 2.
Seja X o número de borboletas opacas na amostra. Como a probabilidade de uma borboleta ser opaca é 0,20 e são selecionadas 10 borboletas independentemente, X segue uma distribuição binomial. A probabilidade de haver pelo menos 2 borboletas opacas é o complemento da probabilidade de haver 0 ou 1: P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 − [(0,8)^10 + 10·(0,2)·(0,8)^9] = 1 − [0,1073741824 + 0,268435456] = 0,6241903616. Arredondando para três casas decimais, obtém-se 0,624.
O aluno tomou a probabilidade de uma única borboleta não ser da espécie opaca (0,8) como resposta, ignorando o tamanho da amostra de 10 e a condição 'pelo menos 2'.
O aluno calculou P(0) + P(1), que corresponde a 'no máximo 1' borboleta opaca, e não ao complementar de 'pelo menos 2'. Trocou o evento pedido pelo seu oposto.
O aluno calculou apenas P(1), a probabilidade de exatamente uma borboleta opaca, e confundiu 'pelo menos 2' com 'exatamente 1'.
Raio-X da questão
probabilidade de eventos
avaliacao
probabilidade de eventos · distribuicao binomial
Revisar a fórmula da probabilidade binomial e suas aplicações.
Calcular a probabilidade de capturar menos de 2 borboletas opacas, em vez de pelo menos 2.
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cientifico
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