Em um projeto, a razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é a proporção áurea. Seu valor exato é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto, a razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é a proporção áurea. Seu valor exato é representado por (1 + v5) / 2. Como o número (1 + v5) / 2 pode ser classificado exatamente?
- A) É um número inteiro.
- B) É uma fração de números inteiros.
- C) É uma dízima periódica.
- D) É um decimal exato.
- E) É uma dízima não periódica.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Interpretamos v5 como a raiz quadrada de 5, então o número é (1 + raiz de 5) / 2. Passo 2: A raiz de 5 não é exata, pois 2^2 = 4 e 3^2 = 9, e 5 não é quadrado perfeito. Logo, raiz de 5 é um número irracional, ou seja, não pode ser escrito como fração de inteiros. Passo 3: Se (1 + raiz de 5) / 2 fosse racional, então raiz de 5 = 2x - 1 também seria racional, o que é uma contradição. Portanto, o número da proporção áurea é irracional. Passo 4: Todo número irracional tem representação decimal infinita e não periódica, ou seja, é uma dízima não periódica. O valor aproximado é 1,618..., com casas decimais que não se repetem em padrão. Por que as outras estão erradas: A) não é inteiro, pois seu valor está entre 1 e 2; B) uma fração de inteiros é racional, e o número é irracional; C) dízima periódica é racional, e o número não é racional; D) decimal exato tem número finito de casas, o que não acontece com este número irracional. Gabarito oficial E confirmado.
💡 Dica: Identifique se o número 1,618 é racional ou irracional.
Alternativa por alternativa
O aluno pode achar que, por ser o resultado de uma operação com números naturais, o valor final deve ser inteiro, ou não percebe que a raiz de 5 não é exata.
Por que engana: Confundir a definição de números racionais e irracionais, acreditando que todos os números decimais são racionais.
Ele pode acreditar que qualquer expressão com radicais e divisão por 2 vira fração de inteiros, sem perceber que a raiz de 5 é irracional e não pode ser representada como fração.
O aluno pode concluir que todo número com infinitas casas decimais é uma dízima periódica, confundindo infinito com repetição de padrão.
Ele pode imaginar que, por ser um número com parte decimal, a representação tem fim, usando a intuição de que decimais sempre param, sem saber que números irracionais têm infinitas casas.
O número √5 é irracional, pois não pode ser escrito como uma fração de números inteiros. Somar 1 e dividir por 2 não muda essa característica. Portanto, (1 + √5) / 2 também é irracional. Sua representação decimal é infinita e não apresenta repetição regular de algarismos, sendo uma dízima não periódica.
Raio-X da questão
proporção áurea
avaliacao
números racionais e irracionais · proporção áurea
Revisar a definição de números racionais e irracionais.
Confundir a definição de números racionais e irracionais, acreditando que todos os números decimais são racionais.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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