Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega ?, e seu valor é dado pela solução positiva da equação ?²=?+1 Assim como a potência ?², as potências superiores de ? podem ser expressas da forma a? + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentad0o no quadro. ENEM - 2021 A potência ?7, escrita na forma a?+b (a e b são inteiros positivos), é
- A) 5?+3
- B) 7?+2
- C) 9?+6
- D) 11?+7
- E) 13?+8
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A relação dada é φ² = φ + 1. Para calcular potências maiores, multiplicamos por φ e substituímos φ² sempre que aparecer.
- Regra geral. Se φ^n = aφ + b, então φ^(n+1) = φ·(aφ + b) = aφ² + bφ = a(φ + 1) + bφ = (a + b)φ + a. Ou seja, o novo coeficiente de φ é a + b, e o novo termo constante é a.
- Aplicando a regra a partir de φ² = 1φ + 1, obtemos: φ³ = 2φ + 1; φ⁴ = 3φ + 2; φ⁵ = 5φ + 3; φ⁶ = 8φ + 5; φ⁷ = 13φ + 8. Os coeficientes seguem a sequência de Fibonacci.
- Conferindo com um cálculo direto: φ⁷ = φ⁶·φ = (8φ + 5)·φ = 8φ² + 5φ = 8(φ + 1) + 5φ = 13φ + 8.
- Logo a = 13 e b = 8, com a e b inteiros positivos. A alternativa correta é a E.
- Por que as outras estão erradas: A (5φ + 3) é justamente φ⁵, ou seja, a potência errada. B (7φ + 2) não respeita a regra, pois o termo constante deveria ser o coeficiente anterior. C (9φ + 6) soma incorretamente os coeficientes da sequência. D (11φ + 7) mistura coeficientes de potências diferentes.
💡 Dica: Use a relação dada para expressar potências superiores de φ em função de φ e números inteiros.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou apenas até φ⁵ e parou, ou contou mal o expoente, tomando 5φ + 3 como resposta para φ⁷.
O aluno acredita que os coeficientes crescem de forma arbitrária e não aplica corretamente a regra de substituição de φ² = φ + 1 a cada multiplicação.
O aluno soma os coeficientes anteriores de forma incorreta (por exemplo, 5 + 3 = 8 em vez de 9) ou altera o termo constante sem seguir a recorrência.
O aluno combina coeficientes de potências diferentes, como 8 + 3 e 5 + 2, em vez de usar a relação entre φ⁶ e φ⁵ corretamente.
Por que engana: Confundir a relação da proporção áurea com outras propriedades ou não aplicar corretamente a substituição para potências maiores.
13? + 8 é a forma correta para ?7, seguindo a relação de Fibonacci e a definição da proporção áurea.
Raio-X da questão
proporção áurea e potências
avaliacao
propriedades de potências · equações quadráticas
Estude a definição da proporção áurea e como expressar potências de números irracionais em forma linear.
Confundir a relação da proporção áurea com outras propriedades ou não aplicar corretamente a substituição para potências maiores.
pensamento_critico
abstrato
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