Uma cooperativa de agricultura urbana pretende instalar placas triangulares equiláteras de proteção em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de agricultura urbana pretende instalar placas triangulares equiláteras de proteção em canteiros comunitários. Cada placa tem lado de 4 cm. Para planejar o suporte central, é necessário conhecer a distância perpendicular do vértice superior até a base. Em um triângulo equilátero, essa altura também divide a base em dois segmentos de mesma medida, formando dois triângulos retângulos congruentes. Com base nas informações do texto e utilizando o teorema de Pitágoras, assinale a alternativa que apresenta a altura da placa e justifica corretamente a classificação desse número como racional ou irracional.
- A) A altura mede 4 cm e é racional, pois corresponde ao comprimento do lado da placa.
- B) A altura mede 2 cm e é racional, pois corresponde à metade da base da placa.
- C) A altura mede 2√3 cm e é irracional, pois resulta de 2 vezes √3, e √3 é irracional.
- D) A altura mede √3 cm e é irracional, pois √3 é um número irracional.
- E) A altura mede 4√3 cm e é irracional, pois o lado de 4 cm deve ser multiplicado por √3.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Na placa equilátera de lado 4 cm, a altura divide a base em dois segmentos iguais de 2 cm (metade de 4). Ela forma, com o lado de 4 cm, um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado de 4 cm e cujos catetos são a altura h e o segmento de 2 cm.
- Pelo teorema de Pitágoras, 4^2 = h^2 + 2^2, ou seja, 16 = h^2 + 4, logo h^2 = 12.
- Portanto h = raiz de 12. Como 12 = 4 x 3, temos raiz de 12 = raiz de 4 x raiz de 3 = 2 raiz de 3, que é aproximadamente 3,46 cm. A altura mede 2 raiz de 3 cm.
- Classificação: raiz de 3 é irracional, pois não é a raiz exata de um número natural (3 não é quadrado perfeito) e sua representação decimal é infinita e não periódica. Multiplicar um irracional por 2, um racional não nulo, continua resultando em irracional. Logo, a altura é irracional.
- Por que as outras estão erradas: A) a altura não é igual ao lado, e o número não é racional; B) a altura não é a metade da base, pois essa metade é o cateto de 2 cm, e a altura é maior que ele; D) a altura não é raiz de 3, pois ela foi calculada sem o fator 2 que aparece ao simplificar raiz de 12; E) a altura não é 4 raiz de 3, pois o fator correto é 2 raiz de 3, e a fórmula da altura do triângulo equilátero é lado x raiz de 3 dividido por 2.
- Conclusão: a alternativa correta é a C, que apresenta altura 2 raiz de 3 cm e a justificativa de que ela é irracional.
💡 Dica: Calcule a altura usando a fórmula do triângulo equilátero.
Alternativa por alternativa
Confunde a altura com o próprio lado da placa, achando que a distância do vértice até a base é igual à medida da aresta. Também considera o número racional só por ser um número inteiro, sem verificar o cálculo.
Por que engana: Confundir a altura com a medida do lado do triângulo, escolhendo uma das opções que não considera a fórmula correta.
Acha que a altura é a metade da base, tomando o segmento de 2 cm como se fosse a própria altura, sem aplicar Pitágoras. Além disso, supõe que a altura é racional porque 2 é racional.
A altura divide a base de 4 cm em dois segmentos de 2 cm. Em um dos triângulos retângulos formados, o lado maior mede 4 cm e um dos catetos mede 2 cm. Pelo teorema de Pitágoras, h² + 2² = 4², portanto h² = 12 e h = √12 = 2√3 cm. Como 2 é racional e √3 é irracional, o produto 2√3 é irracional.
Calcula a altura como raiz de 3 e perde o fator 2 na simplificação de raiz de 12, ou usa a fórmula sem multiplicar pelo lado. Acerta a classificação de irracional, mas o valor numérico está errado.
Aplica a fórmula da altura do triângulo equilátero esquecendo a divisão por 2, ou seja, usa lado x raiz de 3 em vez de lado x raiz de 3 dividido por 2. Assim obtém 4 raiz de 3 em vez de 2 raiz de 3.
Raio-X da questão
altura de triângulo equilátero
avaliacao
propriedades do triângulo equilátero · números irracionais
Revisar a fórmula da altura de um triângulo equilátero.
Confundir a altura com a medida do lado do triângulo, escolhendo uma das opções que não considera a fórmula correta.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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