Uma cooperativa escolar pretende instalar um painel triangular equilátero em uma praça. O projeto determina…

Questão

Uma cooperativa escolar pretende instalar um painel triangular equilátero em uma praça. O projeto determina que cada lado do painel tenha 6 cm. Para definir o suporte central, será necessário conhecer a medida da altura traçada de um vértice até o lado oposto. Essa altura divide a base em dois segmentos de mesma medida e forma dois triângulos retângulos congruentes. Com base nas informações do projeto, qual justificativa explica corretamente por que a altura do painel é um número irracional?

1. A) Porque toda medida obtida por uma raiz quadrada é irracional.
2. B) Porque a altura é metade da base, então mede 3 cm.
3. C) Porque, sendo equilátero, a altura coincide com o lado e mede 6 cm.
4. D) Porque h² = 6² − 3² = 27, portanto h = √27 = 3√3, que é irracional.
5. E) Porque h² = 6² + 3² = 45, então h = 3√5 cm.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. No triângulo equilátero de lado 6 cm, a altura h divide a base em dois segmentos de 3 cm. Cada metade forma, com o lado de 6 cm e a altura, um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado do triângulo original. Passo 2: Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos. Como a hipotenusa é 6 e um cateto é 3, temos 6² = h² + 3², ou seja, h² = 36 − 9 = 27. Passo 3: Então h = raiz de 27. Fatorando, 27 = 9 × 3, logo h = 3 × raiz de 3, ou seja, h = 3√3, que é aproximadamente 5,196 cm. Passo 4: Um número é racional quando pode ser escrito como fração de inteiros com denominador diferente de zero, e a sua representação decimal é finita ou periódica. A raiz quadrada de 3 não é exata e sua expansão decimal é infinita e não periódica, portanto é irracional. Multiplicar um irracional por 3 mantém a irracionalidade, então h é irracional. Passo 5: A alternativa D é a única que aplica corretamente Pitágoras (subtraindo o quadrado do cateto) e justifica a irracionalidade pela raiz de 3. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A afirma uma regra falsa, pois raízes quadradas podem ser racionais, como raiz de 9 = 3. B confunde altura com metade da base, o que não vale para o triângulo equilátero, já que a altura mede aproximadamente 5,196 cm e não 3 cm. C supõe que a altura é igual ao lado, o que é falso, pois a altura é menor que o lado. E usa soma em vez de subtração no teorema de Pitágoras, o que está errado porque a hipotenusa é o lado maior e o cateto é a metade da base.

💡 Dica: Considere as propriedades dos triângulos e a definição de altura.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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