Durante uma oficina de estruturas, estudantes construíram uma placa triangular isósceles. Os dois lados…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante uma oficina de estruturas, estudantes construíram uma placa triangular isósceles. Os dois lados congruentes medem 1 metro cada, e a base mede exatamente v2 metros. A altura relativa à base é o segmento perpendicular traçado do vértice oposto até essa base. Considerando as medidas da placa, determine a altura relativa à base e classifique o número que representa essa medida como racional ou irracional.
- A) A altura mede √2/2 metro e é irracional.
- B) A altura mede √2 metros e é irracional.
- C) A altura mede 1/2 metro e é racional.
- D) A altura mede 2 metros e é racional.
- E) A altura mede 1 metro e é racional.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A altura relativa à base divide o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos congruentes. Passo 2: Em cada um deles, a hipotenusa é um dos lados congruentes (1 metro) e um cateto é metade da base, ou seja, (raiz de 2)/2 metros. Passo 3: Pelo teorema de Pitágoras, h^2 = 1^2 - ((raiz de 2)/2)^2 = 1 - 1/2 = 1/2. Passo 4: Logo h = raiz de (1/2) = (raiz de 2)/2 metros, que é aproximadamente 0,707 metro. Passo 5: Como raiz de 2 é irracional e dividir um irracional por 2 não o torna racional, a altura é irracional. Passo 6: A alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B indica a altura como raiz de 2, que é o próprio valor da base, e não a altura. C indica 1/2, que é o valor de h^2 e não de h. D indica 2 metros, valor impossível, pois um cateto de triângulo retângulo é menor que a hipotenusa de 1 metro. E indica 1 metro, que é a medida dos lados congruentes e não a altura, além de ser um número racional, o que também não corresponde ao cálculo.
💡 Dica: Calcule a altura usando a fórmula da área do triângulo.
Alternativa por alternativa
Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base também divide a base ao meio. Assim, cada metade da base mede √2/2 metro. Aplicando o teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos formados, temos h² + (√2/2)² = 1². Logo, h² + 1/2 = 1, portanto h² = 1/2 e h = √2/2. Como √2 é irracional e a divisão por 2 não altera essa característica, a altura é um número irracional.
Tomou a própria base (raiz de 2 metros) como se fosse a altura, ou seja, não percebeu que a altura é um segmento distinto da base e não aplicou o teorema de Pitágoras.
Calculou corretamente h^2 = 1/2, mas esqueceu de extrair a raiz quadrada, tomando 1/2 como a medida da altura.
Somou os dois lados congruentes (1 + 1 = 2) ou supôs que a altura seria maior que os lados, sem perceber que a altura é cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 1 metro.
Supôs que a altura teria a mesma medida dos lados congruentes, confundindo a altura com um lado do triângulo, uma intuição do dia a dia sobre triângulos isósceles.
Raio-X da questão
altura de triângulo
avaliacao
altura de triângulo · propriedades de triângulos
Revisar a fórmula da área do triângulo e propriedades de triângulos.
Confundir a altura do triângulo com a medida de um dos lados, sem aplicar a fórmula correta para calcular a altura.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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