Progressão geométrica: exercícios resolvidos com gabarito

Quando ensino progressão geométrica, percebo que muitos alunos decoram a fórmula do termo geral, mas travam quando o enunciado fala de investimentos, usuários ou produção. Eu costumo começar perguntando o que acontece de um termo para o seguinte: soma-se sempre o mesmo valor ou multiplica-se sempre pelo mesmo número? Essa conversa simples ajuda a separar PG de progressão aritmética e dá sentido à razão.

Já usei problemas contextualizados para mostrar que uma PG não é só uma sequência no quadro: ela modela crescimento e redução multiplicativos. A seguir, reuni exercícios resolvidos com diferentes níveis de raciocínio. Também deixo observações sobre questões cuja redação ou gabarito fornecido apresenta inconsistências, porque ensinar matemática inclui conferir se a resposta realmente combina com os dados.

O que é uma progressão geométrica e como identifico sua razão?

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que, a partir do segundo termo, cada elemento é obtido multiplicando o anterior por um mesmo número, chamado razão e representado por q. Para encontrá-la, divido um termo pelo imediatamente anterior, desde que o divisor não seja zero: q = a₂/a₁. Por exemplo, em 3, 6, 12, 24, a razão é 2; já em 80, 40, 20, a razão é 1/2. Se as razões consecutivas forem iguais, há um padrão geométrico. O termo geral é aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, fórmula que permite calcular um termo distante sem listar todos os anteriores. Na sala, eu peço que os alunos verifiquem primeiro a razão e só depois escolham a fórmula. Essa ordem reduz erros de índice e ajuda a interpretar situações de crescimento, como as questões da sequência.

Vale explorar também casos em que os termos são negativos ou a razão está entre zero e um. Uma PG pode crescer, diminuir, alternar sinais ou permanecer constante, dependendo de q e do primeiro termo. Não confundo “crescimento” com “razão maior que um” sem olhar o sinal dos termos e o contexto.

Como calcular um termo distante ou a soma dos termos de uma PG?

Para encontrar um termo distante, uso aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹: identifico o primeiro termo, a razão e a posição desejada, lembrando que o expoente é n−1 porque a₁ corresponde à posição 1. Se a sequência é 500, 1.000, 2.000, então a₁=500 e q=2. Para somar os n primeiros termos quando q≠1, aplico Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1), forma equivalente a a₁(1−qⁿ)/(1−q). Em uma PG infinita com |q|<1, a soma é S=a₁/(1−q). Eu costumo pedir que a turma estime se o resultado faz sentido antes de calcular: numa sequência que dobra, o termo seguinte precisa ser maior; numa soma infinita com razão positiva menor que um, o total precisa superar o primeiro termo. Essas verificações tornam os procedimentos menos mecânicos.

Quando a questão mistura PG com porcentagem, volume ou logaritmo, resolvo em etapas: encontro os termos, traduzo a grandeza pedida e só então faço a operação final. Isso deixa visível onde um eventual erro aconteceu.

Como trabalhar PG em situações do cotidiano dos estudantes?

Eu começo com um contexto familiar e faço os alunos identificarem o que se repete: dobrar usuários a cada semana, multiplicar um investimento por uma taxa fixa ou reduzir uma quantidade pela mesma proporção. Depois, organizo os dados em uma tabela com posição, termo e razão. Essa representação ajuda a perceber que o número da semana ou da etapa precisa ser associado corretamente ao expoente. Em seguida, peço uma previsão para um termo futuro e confronto estimativas com o cálculo. A habilidade EM13MAT508 relaciona progressões geométricas a funções exponenciais de domínio discreto, então é produtivo conectar a tabela à expressão algébrica. Eu também alterno perguntas diretas e problemas com unidades, como caixas e metros cúbicos, para que ninguém confunda a quantidade de objetos com o volume ocupado. Com o GeraProva, posso preparar variações de questões e reservar meu tempo para discutir estratégias e erros recorrentes.

Uma boa avaliação não precisa perguntar apenas “qual é o termo geral?”. Posso pedir que o estudante explique por que uma alternativa erra, compare duas estratégias ou interprete o resultado no contexto. Assim, verifico tanto o cálculo quanto a compreensão do modelo.

Questões prontas com gabarito comentado

Nas seis questões abaixo, apresento o procedimento, as alternativas e o motivo de cada distrator. Elas percorrem aplicações da razão, do termo geral, da soma e da relação entre PG e outras grandezas. Os códigos BNCC e os níveis de Bloom ajudam a planejar a progressão da atividade: há itens de aplicação, análise e avaliação, além de diferentes graus de dificuldade. Eu recomendo pedir que a turma registre a fórmula usada e substitua os valores antes de calcular. Isso facilita a correção e revela se o problema foi de interpretação, de índice ou de aritmética. Em alguns itens, a transcrição recebida tem uma inconsistência interna — especialmente na questão do fractal e na questão 6 —, por isso indico claramente o que os dados permitem concluir, sem esconder divergências do gabarito informado.

1. Investimentos em cinco etapas

Uma microempresa investiu R$ 600,00, R$ 900,00, R$ 1.350,00 e R$ 2.025,00 nas quatro primeiras etapas de uma campanha. Mantido o padrão, aproximadamente que porcentagem do total investido nas cinco etapas corresponderá à quinta etapa?

Dica de resolução: Calcule o termo seguinte pela razão e divida-o pela soma dos cinco investimentos. Conceito central: participação percentual em uma PG. Conceito para revisão: termo geral e soma dos termos. BNCC: EM13MAT508. Bloom: Avaliar.

• ❌ A) 40,5% — arredondar valores antes de calcular altera indevidamente a participação.
• ✅ B) 38,4% — a razão é 900/600=1,5; o quinto investimento é R$ 3.037,50. O total é R$ 7.912,50, então 3.037,50/7.912,50 × 100 ≈ 38,4%.
• ❌ C) 33,3% — decorre de uma soma incorreta do total, não dos cinco valores da sequência.
• ❌ D) 62,3% — compara o quinto investimento apenas com as quatro etapas anteriores, e não com o total das cinco.
• ❌ E) 25,0% — supõe uma divisão igual do total, ignorando que os investimentos são diferentes.

2. Usuários de um aplicativo

O número de usuários de um aplicativo passou de 500 na primeira semana para 1.000 na segunda e 2.000 na terceira. Mantendo o padrão de dobrar semanalmente, qual expressão fornece o número de usuários na semana n, com n≥1?

Dica de resolução: Confira se a expressão dá 500 quando n=1 e se dobra nas semanas seguintes. Conceito central: termo geral de uma PG. Conceito para revisão: correspondência entre índice e primeiro termo. BNCC: EM13MAT508. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) 1000 × 2^(n−2) — para n=1 resulta em 500; depois produz 1.000 e 2.000.
• ❌ B) 500 × 2^n — na primeira semana dá 1.000, deslocando a sequência uma posição.
• ❌ C) 500 × 2^(n+1) — na primeira semana dá 2.000, e não 500.
• ❌ D) 500 × 2^(n−2) — na primeira semana dá 250; o fator inicial foi combinado com expoente inadequado.
• ❌ E) 502 + 2n — descreve crescimento aditivo de 2 unidades, não uma duplicação.

3. Caixas cúbicas produzidas em seis dias

Uma cooperativa produziu 10, 20, 40 e 80 caixas nos quatro primeiros dias. Cada caixa é um cubo de aresta 0,5 m. Mantido o padrão, qual volume total será ocupado pelas caixas produzidas no sexto dia?

Dica de resolução: Encontre a quantidade de caixas no dia 6 e multiplique pelo volume de um cubo. Conceito central: PG e volume. Conceito para revisão: termo geral e volume de cubo. BNCC: EM13MAT508. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) 40 m³ — a razão é 2; no sexto dia há 10×2⁵=320 caixas. Cada uma ocupa 0,5³=0,125 m³; 320×0,125=40 m³.
• ❌ B) 10 m³ — usa a quantidade inicial como se fosse o volume total.
• ❌ C) 160 m³ — corresponde à quantidade do quinto dia, além de ignorar o volume de cada caixa.
• ❌ D) 80 m³ — usa a quantidade do quarto dia sem avançar até o sexto nem converter unidades.
• ❌ E) 20 m³ — confunde a quantidade do segundo dia com o volume pedido.

4. Área de uma figura fractal

A sequência de figuras em uma malha forma um fractal, e as áreas das etapas seguem uma PG. Cada quadradinho tem área de 1 cm². Qual é a área da figura 5? O enunciado fornecido faz referência a uma imagem, que não acompanha esta transcrição.

Dica de resolução: Leia a razão entre áreas consecutivas na figura original e use aₙ=a₁qⁿ⁻¹. Conceito central: PG e área em fractais. Conceito para revisão: termo geral e cálculo de área. BNCC: EM13MAT508. Bloom: Analisar.

• ✅ A) 625/81 — é a alternativa apontada como correta no gabarito fornecido. Porém, a explicação da base também apresenta 625/6561; sem a imagem e sem uma razão coerente, não é possível validar unicamente esse resultado.
• ❌ B) 640/81 — não decorre das potências indicadas na explicação fornecida.
• ❌ C) 125/27 — usa expoentes ou razão diferentes dos descritos para o padrão apresentado.
• ❌ D) 605/81 — não corresponde a uma potência da razão da PG; sugere erro de cálculo.
• ❌ E) 215/27 — também não é sustentada pelo padrão descrito. Recomendo conferir a figura e corrigir a chave antes de aplicar o item.

5. Soma infinita e logaritmo

Seja S a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo x₁=a, com a>0 e a≠1, e razão real 0<q<1. Qual é o valor de logₐ(S)?

Dica de resolução: Use a soma infinita e, depois, a propriedade do logaritmo de um quociente. Conceito central: PG, soma e logaritmo. Conceito para revisão: soma de PG infinita e propriedades logarítmicas. BNCC informada: EM13MAT301. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) a + logₐ(1−q) — soma diretamente a com um logaritmo, sem aplicar a propriedade correta.
• ❌ B) a − logₐ(1−q) — mantém a como parcela, embora logₐ(a)=1.
• ❌ C) 1 + logₐ(1−q) — troca o sinal que surge ao dividir por 1−q.
• ✅ D) 1 − logₐ(1−q) — S=a/(1−q), portanto logₐ(S)=logₐ(a)−logₐ(1−q)=1−logₐ(1−q).

6. Produto de termos de uma PG

Em uma PG a₁, a₂, a₃, ..., sabe-se que a₁>0 e a₆=−9√3. A PG a₁, a₅, a₉, ... tem razão 9. Determine a₂a₇.

Dica de resolução: A razão da sequência alternada é r⁴; combine essa informação com a₆=a₁r⁵ e use a₇=a₂r⁵. Conceito central: razão e produto de termos de uma PG. Conceito para revisão: relações entre termos e potências da razão. BNCC informada: EM13MAT301. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) −27√3 — r⁴=9, e a₆<0 com a₁>0 implica r<0; logo r=−√3. De a₁r⁵=−9√3 resulta a₁=1. Assim, a₂a₇=(a₁r)(a₁r⁶)=r⁷=−27√3.
• ❌ B) −3√3 — não corresponde às potências de r necessárias para os termos a₂ e a₇.
• ❌ C) −√3 — deixa de considerar o fator acumulado até o sétimo termo.
• ❌ D) 3√3 — o gabarito recebido marca esta alternativa como correta, mas ela contradiz os dados e o cálculo; o sinal também deve ser negativo.
• ❌ E) 27√3 — tem módulo compatível com um erro de expoente, mas o sinal positivo contradiz a razão negativa.

Como transformar esses exercícios em uma avaliação útil?

Uma avaliação útil de PG combina cálculo, interpretação e explicação, em vez de repetir seis vezes a mesma substituição na fórmula. Eu selecionaria questões que variem a tarefa: reconhecer a razão, escrever o termo geral, calcular uma soma e interpretar uma resposta com unidades. Também reservaria espaço para o estudante justificar por que um distrator está errado, pois isso mostra se ele compreendeu o padrão ou apenas acertou por tentativa. Antes de aplicar qualquer item, confiro os dados, as alternativas e a coerência do gabarito, como foi necessário nas questões do fractal e do produto de termos. No GeraProva, posso gerar e organizar provas com apoio de IA e ajustar os itens ao objetivo da turma. Para conhecer a plataforma, acesse a página inicial do GeraProva ou faça seu cadastro grátis.

Na devolutiva, gosto de pedir que cada aluno indique uma etapa em que teve certeza e outra em que ficou em dúvida. Esse registro me ajuda a decidir se preciso retomar razão, índice ou operações com frações e potências. A ferramenta economiza tempo na preparação, mas a escolha do que ensinar continua sendo minha.

Os exercícios e comentários servem como apoio didático; confira especialmente as questões cuja transcrição apresenta divergências antes de aplicá-las. Se quiser preparar uma lista alinhada à sua turma, experimente o GeraProva e veja se ele facilita seu planejamento.