Seja S a soma dos termos da progressão geométrica (x1, x2, x3, . . .), cuja razão é o número real q, 0 < q <…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja S a soma dos termos da progressão geométrica (x1, x2, x3, . . .), cuja razão é o número real q, 0 < q < 1. Se x1 = a, a > 0, a ? 1, então, o valor de log_a (S) é (UECE 2020)
- A) a + log_a (1 - q).
- B) a - log_a (1 - q).
- C) 1 + log_a (1 - q).
- D) 1 - log_a (1 - q).
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Na progressão geométrica com razão q, 0 < q < 1, a soma dos infinitos termos é S = x1 / (1 - q). Como x1 = a, temos S = a / (1 - q). Passo 2: Aplique o logaritmo de base a dos dois lados: log_a(S) = log_a(a / (1 - q)). Passo 3: Use a propriedade do logaritmo de um quociente: log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y). Assim, log_a(S) = log_a(a) - log_a(1 - q). Passo 4: Como a > 0 e a é diferente de 1, log_a(a) = 1. Portanto log_a(S) = 1 - log_a(1 - q). Passo 5: A alternativa correta é a D. Por que as outras estão erradas: A) o termo a é o primeiro termo da progressão, não o logaritmo de a, e o sinal do logaritmo do denominador também está errado. B) log_a(a) vale 1, não a, então o termo inicial está errado. C) o sinal de log_a(1 - q) está trocado, pois o logaritmo do denominador deve ser subtraído.
💡 Dica: Calcule a soma da PG e aplique a definição de logaritmo.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde o primeiro termo a com o logaritmo de a e acredita que log_a(S) se separa em uma soma de a com o logaritmo do denominador.
O aluno aplica corretamente o sinal de subtração do logaritmo do quociente, mas não percebe que log_a(a) é igual a 1 e escreve a no lugar.
O aluno calcula log_a(a) = 1 corretamente, mas inverte o sinal de log_a(1 - q), somando em vez de subtrair o logaritmo do denominador.
CORRETA. A soma da PG é S = a/(1 - q). Aplicando log_a(S) = log_a(a) - log_a(1 - q) = 1 - log_a(1 - q), que corresponde exatamente à alternativa D.
Raio-X da questão
progressão geométrica, soma, logaritmo
diagnostico
progressão geométrica · propriedades de logaritmos
Estude soma de progressão geométrica e propriedades de logaritmos.
Confundir a fórmula da soma da PG ou aplicar logaritmo incorretamente.
pensamento_critico
abstrato
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