Atividades de princípio multiplicativo e probabilidades do espaço amostral para a 3ª série com gabarito

Na 3ª série, trabalho contagem com situações em que é necessário identificar as etapas de uma escolha, distinguir quando as opções se combinam e quando representam casos diferentes. Em sala, percebo que a conta costuma ficar mais clara quando os estudantes descrevem primeiro o que pode ser escolhido em cada etapa e só depois decidem se devem multiplicar ou somar.

Esse raciocínio também sustenta a organização de espaços amostrais em probabilidade: para calcular probabilidades, precisamos reconhecer os resultados possíveis e, em muitos problemas, contar quantos são. As questões a seguir exploram o princípio multiplicativo, escolhas com e sem repetição, ordem e casos alternativos. Elas não pedem diretamente a soma de probabilidades, mas ajudam a consolidar ferramentas úteis para estudar esse tema.

O que o aluno de 3ª série precisa saber sobre princípio multiplicativo e probabilidades do espaço amostral

O aluno precisa compreender que o princípio multiplicativo se aplica quando uma situação é composta por etapas sucessivas: se há determinada quantidade de opções em cada etapa e todas podem ser combinadas, multiplicamos essas quantidades para obter o total de resultados. Também precisa reconhecer quando a situação apresenta casos alternativos, como uma escolha com moldura ou sem moldura; nesses casos, contamos cada caso de modo separado e somamos os resultados, desde que sejam possibilidades distintas. Em problemas de códigos, bandeiras ou anéis, é essencial verificar se a ordem importa e se há repetição permitida. Na probabilidade, o espaço amostral reúne os resultados possíveis de um experimento. Quando se atribui uma probabilidade a cada resultado elementar, a soma das probabilidades de todos eles é 1, ou 100%. Saber contar resultados ajuda a organizar esse espaço, embora a contagem, sozinha, não determine a probabilidade sem informações sobre o experimento.

O que ele precisa saber antes

As questões mobilizam multiplicação de números naturais, contagem de possibilidades por etapas e leitura de gráficos. Também aparecem combinações sem repetição, permutações simples e a distinção entre seleção em que a ordem não altera o resultado e arranjo em que a posição importa. Vale retomar que, em uma escolha de etapas independentes, multiplicamos as opções de cada etapa; para casos alternativos, somamos os totais de cada caso. Na questão dos horários, por exemplo, é preciso ler os valores do gráfico e reunir separadamente os horários da manhã e da tarde antes de formar os pares.

Onde os alunos mais erram

O equívoco recorrente indicado pelas questões é deixar de considerar uma etapa ou um caso. Isso aparece ao somar horários da manhã e da tarde quando a tarefa pede um horário de cada período, ao esquecer a sobremesa em um combo ou ao contar apenas uma das opções de um produto que pode ser feito com ou sem moldura. Em outros itens, o desafio está em respeitar as condições: não repetir dígitos ou cores, considerar cada faixa da bandeira separadamente e observar se a ordem dos anéis importa.

Os distratores ajudam a tornar esse raciocínio visível. Na questão dos horários, 19 resulta da soma das disponibilidades, não da formação dos pares. Na dos avatares, 80 pode surgir de uma soma ou multiplicação inadequada dos casos. Na questão dos anéis, 15 corresponde à escolha de duas cores sem considerar a posição; já 36 permite repetição, contrariando o enunciado. Peço que os alunos expliquem o significado de cada fator e de cada soma, em vez de escolher uma operação apenas por reconhecer palavras do problema.

Como trabalhar em sala

• Marcar as etapas: antes de calcular, peça que a turma sublinhe cada decisão envolvida e escreva ao lado quantas opções há em cada uma.
• Separar casos: use o exemplo de uma combinação com moldura e outra sem moldura. A turma calcula cada total e discute por que, nesse caso, os resultados são somados.
• Comparar ordem e repetição: coloque lado a lado a seleção de instrumentos e efeitos, em que a ordem não muda a seleção, e a colocação dos anéis, em que a posição é relevante e as cores não se repetem.
• Fazer estimativas e conferir: antes de aceitar um resultado, os alunos podem verificar se a resposta deve ser maior do que o número de opções de uma única etapa e se respeita as restrições do enunciado.
• Conectar com probabilidade: depois de contar resultados de um experimento simples, organize o espaço amostral e retome que as probabilidades de todos os resultados elementares somam 1. Deixe explícitas as condições necessárias para atribuir essas probabilidades.

Questões prontas de princípio multiplicativo e probabilidades do espaço amostral para a 3ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

1. Avatares com ou sem moldura

Durante o desenvolvimento de um serviço de personalização de avatares digitais, a equipe definiu três categorias de elementos de design: 5 ícones principais, 4 fundos de tela e uma moldura opcional com 2 estilos distintos. Se o usuário não escolher moldura, pode combinar apenas ícone e fundo; se optar pela moldura, o design inclui um estilo de moldura. Quantas combinações de avatares podem ser criadas?

• ❌ A) 40 combinações — conta somente as combinações que incluem moldura, deixando de fora as opções sem moldura.
• ❌ B) 80 combinações — soma ou multiplica os casos de maneira incorreta; os totais dos dois casos são 20 e 40.
• ❌ C) 20 combinações — considera ícone e fundo, mas ignora a possibilidade de escolher uma moldura.
• ❌ D) 100 combinações — soma 5, 4 e 2 e depois multiplica por 10, sem representar corretamente as etapas.
• ✅ E) 60 combinações — sem moldura há 5 × 4 = 20 opções; com moldura há 5 × 4 × 2 = 40. Somando os casos: 20 + 40 = 60.

Gabarito comentado: A moldura é opcional, então separamos a contagem em dois casos. Em cada caso, multiplicamos as escolhas que podem ser combinadas; depois somamos os totais.

2. Agendamentos pela manhã e à tarde

Uma plataforma de telemedicina organiza consultas de triagem pela manhã e retornos à tarde. O gráfico informa 3, 2 e 5 horários livres nas faixas da manhã e 4, 1 e 4 nas faixas da tarde. Quantos agendamentos de ida e volta podem ser montados escolhendo 1 horário da manhã e 1 da tarde?

• ❌ A) 10 agendamentos — conta apenas os horários livres pela manhã, sem combiná-los com os da tarde.
• ❌ B) 45 agendamentos — divide 90 por 2, embora cada par tenha um horário da manhã e outro da tarde e seja contado uma única vez.
• ❌ C) 81 agendamentos — usa 9 horários nos dois períodos, mas a manhã tem 10 horários disponíveis.
• ✅ D) 90 agendamentos — pela manhã há 3 + 2 + 5 = 10 horários; à tarde, 4 + 1 + 4 = 9. Logo, 10 × 9 = 90.
• ❌ E) 19 agendamentos — soma os horários dos dois períodos, mas a tarefa pede formar pares, um horário de cada período.

Gabarito comentado: Primeiro reunimos as disponibilidades de cada período. Como cada horário da manhã pode ser combinado com cada horário da tarde, multiplicamos os totais: 10 × 9.

3. Combos com prato, bebida e sobremesa

Num restaurante popular, cada combo é formado por 1 prato e 1 bebida. O gráfico mostra a relação entre a quantidade de bebidas oferecidas e o total de combos possíveis. Se o cardápio passar a ter 7 bebidas e cada combo puder vir com 1 de 3 sobremesas, quantas ofertas distintas haverá?

• ✅ A) 84 ofertas — o gráfico indica 4 pratos. Com 7 bebidas há 4 × 7 = 28 combinações; incluindo 3 sobremesas, 28 × 3 = 84.
• ❌ B) 28 ofertas — conta pratos e bebidas, mas não inclui a escolha de sobremesa.
• ❌ C) 21 ofertas — multiplica bebidas por sobremesas e deixa de considerar os 4 pratos.
• ❌ D) 63 ofertas — combina parcialmente as etapas e não inclui corretamente todas as opções do combo.
• ❌ E) 56 ofertas — infere uma quantidade de sobremesas ou um padrão que não corresponde aos dados: são 3 sobremesas.

Gabarito comentado: Cada oferta envolve uma escolha de prato, uma de bebida e uma de sobremesa. Multiplicamos as quantidades: 4 × 7 × 3 = 84.

4. Etiquetas com dois padrões

Em um laboratório público, etiquetas de amostras usam dois padrões: vogal seguida de dígito par, ou consoante seguida de dígito ímpar. O gráfico mostra 3 vogais, 7 consoantes, 5 dígitos pares e 5 dígitos ímpares válidos. Quantas etiquetas diferentes podem ser geradas?

• ❌ A) 35 etiquetas — conta apenas o padrão de consoante seguida de dígito ímpar: 7 × 5.
• ✅ B) 50 etiquetas — o primeiro padrão gera 3 × 5 = 15 etiquetas; o segundo, 7 × 5 = 35. Somando: 15 + 35 = 50.
• ❌ C) 10 etiquetas — soma as quantidades de dígitos e ignora as letras e a formação de pares.
• ❌ D) 100 etiquetas — multiplica todos os símbolos sem respeitar os dois padrões permitidos.
• ❌ E) 20 etiquetas — soma grupos do gráfico, mas não calcula as combinações de letra e dígito de cada padrão.

Gabarito comentado: São dois padrões alternativos. Em cada um, multiplicamos as opções de letra pelas opções de dígito; como os padrões não se confundem, somamos os resultados.

5. Seleção de instrumentos e efeitos

Um compositor pode selecionar três instrumentos entre piano, guitarra, baixo, bateria e sintetizador, e dois efeitos entre reverb, delay, chorus e distorção. A ordem de escolha não altera a atuação de cada componente. Quantas combinações distintas de instrumentos e efeitos pode selecionar?

• ❌ A) 40 — calcula C(5,3) = 10, mas usa C(4,1) = 4 para os efeitos, embora devam ser escolhidos dois.
• ❌ B) 20 — usa quantidades diferentes das solicitadas, como escolher dois instrumentos e um efeito.
• ❌ C) 16 — soma as quantidades de seleções, embora a faixa receba instrumentos e efeitos; as categorias devem ser combinadas.
• ✅ D) 60 — há C(5,3) = 10 seleções de instrumentos e C(4,2) = 6 seleções de efeitos. Portanto, 10 × 6 = 60.
• ❌ E) 24 — mistura soma e multiplicação sem contar corretamente as seleções de cada categoria.

Gabarito comentado: Como a ordem de seleção não importa dentro de cada grupo, usamos combinações: escolhemos 3 dos 5 instrumentos e 2 dos 4 efeitos. Depois multiplicamos os totais das duas categorias.

6. Códigos de três ou quatro dígitos

Em uma biblioteca digital, os códigos de acesso podem ter três ou quatro dígitos, escolhidos entre 0 e 9, sem repetir nenhum dígito. Por exemplo, 482 e 9407 são válidos, mas 122 e 5662 não. Quantos códigos distintos são possíveis?

• ❌ A) 6480 — a soma das permutações foi calculada incorretamente; os totais são 720 e 5040.
• ❌ B) 720 — considera apenas os códigos de três dígitos e ignora os de quatro.
• ❌ C) 10000 — corresponde a 10⁴, permitindo repetição em um código de quatro dígitos, contrariando a regra.
• ❌ D) 5040 — conta apenas os códigos de quatro dígitos e deixa de incluir os de três.
• ✅ E) 5760 — para três dígitos há 10P3 = 720 códigos; para quatro, 10P4 = 5040. Somando os casos: 720 + 5040 = 5760.

Gabarito comentado: Sem repetição, o número de opções diminui a cada posição. Calculamos separadamente os códigos de três e de quatro dígitos e somamos, pois são comprimentos alternativos.

7. Padrões de bandeiras com três faixas

Cada faixa de uma bandeira pode receber uma de cinco cores — vermelho, azul, verde, amarelo ou branco — e um de dois símbolos: estrela ou círculo. As faixas ficam em sequência da esquerda para a direita, e cada bandeira tem três faixas. Quantos padrões distintos podem ser produzidos?

• ❌ A) 1024 — trata as dez combinações de uma faixa como dez escolhas binárias e calcula 2¹⁰, em vez de contar as três faixas.
• ❌ B) 250 — considera as cores nas três faixas, mas aplica as duas opções de símbolo apenas uma vez.
• ❌ C) 750 — também não considera as opções de símbolo separadamente em cada uma das três faixas.
• ❌ D) 125 — conta as cinco cores em cada faixa, mas deixa de incluir os símbolos.
• ✅ E) 1000 — em cada faixa há 5 × 2 = 10 combinações de cor e símbolo. Para três faixas: 10 × 10 × 10 = 1000.

Gabarito comentado: Cada faixa recebe sua própria combinação de cor e símbolo. Como há três posições em sequência, multiplicamos as dez possibilidades de cada faixa.

8. Anéis coloridos para identificação de aves

Pesquisadores identificam aves migratórias com dois anéis de cores distintas: um mais próximo ao corpo e outro mais afastado. Há seis cores disponíveis, e não se repetem cores no mesmo par. A ordem de colocação é relevante. Quantos pares distintos podem ser aplicados em um pássaro?

• ❌ A) 15 combinações — corresponde a escolher duas cores sem considerar a ordem; aqui, trocar as posições produz outro arranjo.
• ✅ B) 30 combinações — há 6 opções para o primeiro anel e 5 para o segundo, pois a cor não pode se repetir. Assim, 6 × 5 = 30.
• ❌ C) 720 combinações — calcula 6!, como se todas as seis cores fossem usadas, mas são escolhidas e ordenadas apenas duas.
• ❌ D) 36 combinações — calcula 6 × 6 e permite repetir uma cor, o que o enunciado proíbe.
• ❌ E) 60 combinações — duplica o fator de ordem; a contagem 6 × 5 já distingue as duas posições.

Gabarito comentado: A posição importa e não há repetição. Para o anel próximo ao corpo temos seis opções; para o afastado, restam cinco. A contagem é 6 × 5.

Próximos passos

Use as questões em sequência ou selecione itens conforme o objetivo da aula: diagnóstico, prática de contagem ou revisão de restrições e casos. Para continuar, consulte também as questões da habilidade EM13MAT310. Você pode organizar novas atividades no gerador de provas do GeraProva e iniciar seu cadastro grátis.

Adapte a seleção ao percurso da sua turma: as questões e os comentários são um ponto de partida para discutir estratégias, conferir condições e aprofundar a relação entre contagem e probabilidade.