Em um pomar com irrigação limitada, há 120 árvores, cuja produção média anual é de 80 kg por árvore. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um pomar com irrigação limitada, há 120 árvores, cuja produção média anual é de 80 kg por árvore. O responsável estima que, ao acrescentar x árvores, a competição por água e nutrientes reduz a produção média de cada árvore em 0,5x kg. A produção total estimada depende, portanto, tanto da quantidade de árvores quanto da produção média individual. Com base nessa estimativa, quantas árvores adicionais devem ser plantadas para maximizar a produção anual total do pomar?
- A) 16 árvores
- B) 12 árvores
- C) 28 árvores
- D) 20 árvores
- E) 32 árvores
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Plantando x árvores adicionais, haverá 120 + x árvores. A produção média por árvore será 80 - 0,5x kg.
- A produção total é P(x) = (120 + x)(80 - 0,5x) = 9600 + 20x - 0,5x^2. Essa parábola tem concavidade para baixo, portanto seu máximo ocorre no vértice.
- Para ax^2 + bx + c, a coordenada do vértice é x = -b/(2a). Assim, x = -20/[2(-0,5)] = 20. Devem ser plantadas 20 árvores adicionais.
- A alternativa D está correta. A e B indicam valores abaixo do máximo; C e E, valores acima dele.
💡 Dica: Modele a produção total por (120+x)(80-0,5x) e encontre o x do vértice.
Alternativa por alternativa
O aluno pode considerar apenas parte do efeito do acréscimo de árvores e escolher um valor menor que o ponto de máximo da produção total.
O aluno pode subestimar a quantidade que maximiza a produção ao não combinar o aumento do número de árvores com a redução da produção individual.
O aluno pode superestimar o número ideal de árvores, sem localizar corretamente o vértice da função de produção total.
Com x árvores adicionais, a produção total é P(x) = (120 + x)(80 - 0,5x) = -0,5x^2 + 20x + 9600. Como a parábola tem concavidade para baixo, seu máximo ocorre no vértice, em x = -20/(2 × -0,5) = 20.
O aluno pode supor que mais árvores continuam aumentando a produção total e escolher uma quantidade acima do máximo calculado.
Raio-X da questão
Máximo de função quadrática por meio do vértice.
avaliacao
Produto de expressões algébricas. · Coordenadas do vértice de uma parábola.
Modelagem de função quadrática e otimização.
Maximizar apenas a quantidade de árvores ou a produção individual, sem considerar o produto das duas.
Uso responsável de recursos naturais.
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- Um agricultor tem uma plantação de maçãs e percebe que a produção de frutas é proporcional ao número de árvores. Se ele…
- Um agricultor deseja plantar uma nova variedade de tomate que, em função do número de litros de água (x) utilizados por…
- —Para maximizar nosso lucro mensal, precisamos saber quantas cadeiras produzir—afirmou o gerente da Carpintaria Nova. A…
- — Se aumentarmos a produção de cadeiras para 20 unidades por mês, nosso lucro tende a crescer, comentou o gerente de uma…
- Nas margens de um rio, uma cooperativa instalou uma horta retangular. Para cercar o terreno, usarão o rio como um dos…
- Entre as fileiras de pés de macieira, um agrônomo dividiu o pomar em 80 parcelas iguais para estimar a quantidade total…
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog