— Se aumentarmos a produção de cadeiras para 20 unidades por mês, nosso lucro tende a crescer, comentou o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Se aumentarmos a produção de cadeiras para 20 unidades por mês, nosso lucro tende a crescer, comentou o gerente de uma marcenaria artesanal. Para modelar esse comportamento, ele levantou os custos fixos e variáveis e elaborou a função de lucro mensal, em reais, em função da quantidade x de cadeiras produzidas: P(x)=-2x^2+80x-1000. Esse modelo permite prever como o lucro varia conforme a produção. Analise o texto-base e determine para qual quantidade de cadeiras produzidas o lucro mensal é máximo.
- A) 16 cadeiras
- B) 22 cadeiras
- C) 24 cadeiras
- D) 18 cadeiras
- E) 20 cadeiras
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A função P(x) = -2x^2 + 80x - 1000 é do segundo grau, com a = -2, b = 80 e c = -1000. Como a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.
- A abscissa do vértice é x_v = -b/(2a) = -80/(2 · (-2)) = -80/(-4) = 20. Logo, o lucro é máximo para x = 20 cadeiras.
- Conferindo, P(20) = -2 · 400 + 80 · 20 - 1000 = -800 + 1600 - 1000 = -200. O valor do lucro máximo é -200 reais, ou seja, mesmo na melhor produção o modelo indica prejuízo. Isso não altera a resposta à pergunta, que pede apenas a quantidade.
- Conferindo pela soma das raízes, o discriminante é 80^2 - 4 · (-2) · (-1000) = 6400 - 8000 = -1600, negativo, então a parábola não corta o eixo x; o vértice é o único ponto de interesse e confirma x = 20.
- A alternativa A (16) não é o vértice, que está a 4 unidades de distância. A alternativa B (22) e a D (18) estão simetricamente afastadas do vértice e, portanto, dão lucro menor. A alternativa C (24) também está afastada do vértice e dá lucro menor.
- Como o gabarito oficial é E, ele está correto e coincide com a conclusão obtida por conta própria.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola para encontrar o lucro máximo.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula de forma errada a abscissa do vértice, obtendo 16 em vez de 20, e não confere se o valor é compatível com o cálculo de -b/(2a).
O aluno erra o sinal ao aplicar a fórmula do vértice com o coeficiente negativo de x^2 e chega a um valor próximo, 22, sem verificar o resultado.
O aluno acredita que, quanto maior a produção, maior o lucro, e escolhe o maior valor que aparece nas opções, sem considerar que a concavidade para baixo limita o lucro.
O aluno calcula corretamente a região do vértice, mas subtrai ou arredonda para baixo, escolhendo 18 como se o máximo estivesse abaixo de 20.
Por que engana: Escolher valor de x sem calcular o vértice, confundindo máximo com valores próximos.
O vértice da parábola P(x) ocorre em x = -b/(2a) = -80/(2·(-2)) = 20; portanto o lucro é máximo a 20 cadeiras.
Raio-X da questão
função quadrática lucro máximo
avaliacao
função quadrática básica · cálculo do vértice
estude cálculo do vértice de função quadrática
Escolher valor de x sem calcular o vértice, confundindo máximo com valores próximos.
tomada_decisao
cotidiano
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