Uma padaria artesanal prepara caixas de degustação com três compartimentos numerados. Em cada compartimento é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma padaria artesanal prepara caixas de degustação com três compartimentos numerados. Em cada compartimento é colocado um mini pão de sabor diferente, de modo que a ordem de ocupação dos compartimentos define uma caixa distinta. Em ambos os planos, a pessoa também escolhe uma bebida e um formato de embalagem, e todas essas opções são compatíveis entre si. No plano A, há 6 sabores, 4 bebidas e 2 formatos de embalagem; no plano B, há 7 sabores, 4 bebidas e 2 formatos de embalagem. Considerando que cada plano oferece todas as escolhas descritas no texto, qual conclusão compara corretamente a quantidade de caixas diferentes que podem ser montadas nos planos A e B?
- A) O plano B permite 1.344 caixas, contra 720 no plano A: são 624 a mais, equivalentes a 28/15 da quantidade do plano A.
- B) O plano B permite 1.680 caixas, contra 960 no plano A: são 720 a mais, equivalentes a 7/4 da quantidade do plano A.
- C) O plano B permite 1.960 caixas, contra 1.152 no plano A: são 808 a mais, equivalentes a 245/144 da quantidade do plano A.
- D) O plano B permite 1.120 caixas, contra 576 no plano A: são 544 a mais, equivalentes a 35/18 da quantidade do plano A.
- E) O plano B permite 840 caixas, contra 480 no plano A: são 360 a mais, equivalentes a 7/3 da quantidade do plano A.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- DISCORDANCIA.CORRETA:A Passo 1: Como há três compartimentos numerados e os sabores devem ser diferentes, a ordem importa. Para n sabores, há n × (n − 1) × (n − 2) maneiras de ocupá-los.
- No plano A, são 6 × 5 × 4 × 4 × 2 = 960 caixas. No plano B, são 7 × 6 × 5 × 4 × 2 = 1.680 caixas. Assim, B oferece 720 a mais, isto é, 1.680/960 = 7/4 da quantidade de A.
- Portanto, a alternativa correta é B. O gabarito oficial coincide com o cálculo. A alternativa A usa 6 × 5 × 4 como se houvesse apenas 3 sabores distintos em cada caixa, mas calcula incorretamente os totais; C, D e E também apresentam quantidades incompatíveis com a contagem das escolhas descritas.
💡 Dica: Conte os arranjos ordenados de três sabores distintos em cada plano e multiplique por bebidas e embalagens.
Alternativa por alternativa
Usa 7*6*4*4*2 = 1.344 no plano B e 6*5*3*4*2 = 720 no plano A; então obtém 1.344-720 = 624 e 1.344/720 = 28/15. Está errado porque, após escolher os dois primeiros sabores, ainda há 5 opções no plano B e 4 no plano A.
Por que engana: Tratar os três compartimentos como não ordenados ou permitir repetir sabores.
Como os três compartimentos são numerados e não se repetem sabores, as escolhas de sabores são 6 × 5 × 4 no plano A e 7 × 6 × 5 no plano B. Multiplicando também pelas 4 bebidas e pelas 2 embalagens, obtêm-se 960 e 1.680 configurações; a diferença é 720 e a razão entre os totais é 7/4.
Repete a quantidade inicial de sabores na segunda escolha: 7*7*5*4*2 = 1.960 no plano B e 6*6*4*4*2 = 1.152 no plano A; logo, 1.960-1.152 = 808 e 1.960/1.152 = 245/144. Está errado porque os sabores não podem se repetir nos compartimentos.
Reduz duas opções de sabor a cada escolha: 7*5*4*4*2 = 1.120 no plano B e 6*4*3*4*2 = 576 no plano A; assim, 1.120-576 = 544 e 1.120/576 = 35/18. Está errado porque cada sabor escolhido retira somente uma opção disponível.
Divide indevidamente as contagens por 2, obtendo 7*6*5*4*2/2 = 840 e 6*5*4*4*2/2 = 480; a diferença é 840-480 = 360 e calcula 840/360 = 7/3. Está errado porque os compartimentos são numerados, e a razão deveria comparar os totais, não o total do plano B com a diferença.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo com arranjos sem repetição.
avaliacao
Princípio fundamental da contagem. · Fatorial e arranjos sem repetição.
Arranjos ordenados e princípio multiplicativo.
Tratar os três compartimentos como não ordenados ou permitir repetir sabores.
cotidiano
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