Uma cooperativa de reciclagem está testando dois formatos de etiquetas para identificar lotes de materiais. No…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de reciclagem está testando dois formatos de etiquetas para identificar lotes de materiais. No formato A, cada etiqueta tem duas letras, escolhidas entre cinco opções, seguidas de um algarismo de 0 a 3. No formato B, há uma letra escolhida entre seis opções, seguida de dois algarismos de 0 a 2. Em ambos os formatos, as escolhas podem se repetir e os algarismos ocupam posições definidas. Considerando todos os códigos distintos possíveis em cada formato, qual formato permite identificar mais lotes e quantos códigos a mais ele oferece?
- A) O formato A permite 46 códigos a mais: são 100 códigos no formato A e 54 no formato B.
- B) O formato A permite 30 códigos a mais: são 75 códigos no formato A e 45 no formato B.
- C) O formato A permite 18 códigos a mais: são 90 códigos no formato A e 72 no formato B.
- D) O formato A permite 12 códigos a mais: são 60 códigos no formato A e 48 no formato B.
- E) O formato A permite 44 códigos a mais: são 80 códigos no formato A e 36 no formato B.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- No formato A, a etiqueta tem duas letras escolhidas entre 5 opções, com repetição permitida: 5 x 5 = 25 possibilidades para as letras. Depois vem um algarismo de 0 a 3, que são 4 opções. Total: 25 x 4 = 100 códigos.
- No formato B, há uma letra entre 6 opções, seguida de dois algarismos de 0 a 2, cada um com 3 opções, com repetição permitida. Total: 6 x 3 x 3 = 54 códigos.
- Comparando, o formato A oferece 100 códigos e o B oferece 54. Logo, o formato A permite mais lotes.
- A diferença é 100 - 54 = 46 códigos a mais no formato A.
- Conclusão: a alternativa A está correta, e o gabarito oficial coincide com a resolução. A alternativa B erra as contagens de intervalos e de opções. A alternativa C mistura as quantidades de letras e de algarismos entre os formatos. A alternativa D aplica uma restrição de não repetição que o enunciado não impõe. A alternativa E também aplica indevidamente a restrição de não repetição, o que reduz as contagens.
💡 Dica: Multiplique as opções de cada posição em cada formato e depois subtraia os totais.
Alternativa por alternativa
No formato A, há 5 × 5 × 4 = 100 possibilidades. No formato B, há 6 × 3 × 3 = 54. A diferença é 100 - 54 = 46 códigos.
O aluno contou o intervalo de 0 a 3 como apenas 3 algarismos e tratou as 6 letras do formato B como 5 opções, deslocando as contagens em uma unidade.
Por que engana: Somar as quantidades de opções das posições em vez de multiplicá-las.
O aluno trocou o número de opções entre os formatos, usando 6 letras no formato A e 4 algarismos nas posições de 0 a 2 do formato B.
O aluno aplicou a ideia de não repetir letras no formato A (5 x 4 x 3 = 60), contrariando o enunciado, que diz que as escolhas podem se repetir.
O aluno aplicou a lógica de arranjos sem repetição às letras do formato A (5 x 4 x 4 = 80) e aos algarismos do formato B (6 x 3 x 2 = 36), quando o enunciado permite repetição em todas as posições.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo e cardinalidade do espaço amostral.
Calcular espaços amo
Multiplicação de números naturais. · Interpretação de escolhas independentes e posições definidas.
Contagem de códigos com repetição permitida.
Somar as quantidades de opções das posições em vez de multiplicá-las.
Consumo e produção responsáveis; reciclagem.
Identificação de lot
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