Na etapa final de uma olimpíada de criptografia, cada equipe recebe um código de seis caracteres: os três…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na etapa final de uma olimpíada de criptografia, cada equipe recebe um código de seis caracteres: os três primeiros são letras e os três últimos são algarismos. Para as letras, só podem ser usadas A, E, I, B, C, D, F e G; deve haver exatamente uma vogal, e não se pode repetir letra. Para os algarismos, podem ser usados os dígitos de 0 a 9, sem repetição, e o primeiro deles deve ser ímpar. Quantos códigos diferentes podem ser formados de acordo com todas essas regras?
- A) 64.800 códigos possíveis
- B) 50.400 códigos possíveis
- C) 97.200 códigos possíveis
- D) 81.000 códigos possíveis
- E) 129.600 códigos possíveis
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- DISCORDANCIA.CORRETA:C Passo 1: Entre as letras permitidas há 3 vogais (A, E, I) e 5 consoantes. Escolhem-se a posição da única vogal (3 opções), a vogal (3 opções) e ordenam-se duas consoantes distintas nas posições restantes (5 × 4). Total: 3 × 3 × 5 × 4 = 180 sequências de letras.
- O primeiro algarismo deve ser ímpar, então há 5 opções (1, 3, 5, 7, 9). Para os dois seguintes, restam 9 e depois 8 algarismos: 5 × 9 × 8 = 360 sequências.
- Pelo princípio multiplicativo, há 180 × 360 = 64.800 códigos. Portanto, a alternativa correta é A, que também é o gabarito oficial.
- B resulta de uma contagem insuficiente das possibilidades de letras ou algarismos; C e D superestimam as escolhas ao não respeitar alguma restrição; E também superestima a contagem, provavelmente tratando como disponíveis opções que deveriam ser excluídas por repetição ou pela exigência de uma única vogal.
💡 Dica: Conte separadamente as possibilidades para as letras e para os algarismos; depois multiplique os resultados.
Alternativa por alternativa
A posição da vogal pode ser escolhida de 3 maneiras; depois, há 3 escolhas para a vogal, 5 para a primeira consoante e 4 para a segunda, totalizando 180 blocos de letras. Para os algarismos, há 5 opções ímpares para o primeiro, 9 para o segundo e 8 para o terceiro, totalizando 360 blocos. Pelo princípio multiplicativo, 180 × 360 = 64.800.
Depois de escolher o primeiro algarismo, usa 8 opções para o segundo e 7 para o terceiro: 180*5*8*7=50.400. O segundo algarismo tem 9 opções, pois pode ser qualquer dígito diferente do primeiro.
Conta 6 opções para a primeira consoante e 5 para a segunda: 3*3*6*5=270; depois, 270*5*9*8=97.200. Há 5 consoantes disponíveis, não 6.
Considera 10 opções para o segundo algarismo e 9 para o terceiro: 180*5*10*9=81.000. O segundo algarismo não pode repetir o primeiro, então há 9 opções, e o terceiro tem 8.
Por que engana: Contar as letras sem fixar a posição da única vogal ou permitir repetição de algarismos.
Usa 10 opções para o primeiro algarismo e calcula 180*10*9*8=129.600. O primeiro algarismo precisa ser ímpar, por isso há 5 opções, não 10.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo com restrições de ordenação e repetição.
avaliacao
Princípio fundamental da contagem. · Contagem de escolhas ordenadas sem repetição.
Permutações e escolhas com restrições.
Contar as letras sem fixar a posição da única vogal ou permitir repetição de algarismos.
abstrato
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