Para uma atividade de segurança digital, uma escola decidiu gerar senhas temporárias com três caracteres. Cada…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para uma atividade de segurança digital, uma escola decidiu gerar senhas temporárias com três caracteres. Cada senha deve ser formada exclusivamente pelas letras A, B, C, D, E e F, sem repetir nenhuma letra. Como a posição de cada letra altera a senha, a ordem dos caracteres deve ser considerada. Com base nessas regras, quantas senhas diferentes podem ser geradas?
- A) 120 senhas, calculando 6 × 5 × 4.
- B) 30 senhas, calculando apenas 6 × 5 para as duas primeiras posições.
- C) 20 senhas, considerando apenas a escolha das três letras.
- D) 216 senhas, permitindo a repetição das três letras.
- E) 60 senhas, calculando 6 × 5 × 2 para as três posições.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o tipo de contagem. As senhas têm 3 posições, usam as letras A, B, C, D, E e F, não podem repetir letras e a ordem importa (AB é diferente de BA). Isso é um arranjo de 6 elementos tomados 3 a 3.
- Calcule a primeira posição. Há 6 letras disponíveis, portanto 6 possibilidades.
- Calcule a segunda posição. Como uma letra já foi usada, restam 5 possibilidades.
- Calcule a terceira posição. Restam 4 letras que ainda não foram usadas, portanto 4 possibilidades.
- Multiplique as possibilidades de cada posição: 6 × 5 × 4 = 120. Logo, podem ser geradas 120 senhas diferentes. A alternativa A está correta, e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa B ignora a terceira posição, que também tem escolhas. A alternativa C conta apenas as combinações de letras, desconsiderando a ordem, que o enunciado exige. A alternativa D permite repetição, indo contra a regra de não repetir letras. A alternativa E usa 2 como fator da terceira posição, mas após duas escolhas restam 4 letras, não 2.
💡 Dica: Calcule o número de permutações de 3 letras entre 4 disponíveis.
Alternativa por alternativa
Para o primeiro caractere, há 6 possibilidades. Depois de escolhê-lo, restam 5 letras para o segundo caractere. Por fim, restam 4 letras para o terceiro. Assim, pelo princípio multiplicativo, o total é 6 × 5 × 4 = 120.
O aluno acredita que a terceira posição não traz novas possibilidades, como se a senha fosse definida apenas pelas duas primeiras letras. Ele esquece que cada posição da senha deve ser preenchida.
Por que engana: Confundir permutação com combinação, ignorando a importância da ordem na formação das senhas.
O aluno trata a senha como um simples conjunto de três letras e usa a combinação de 6 tomadas 3 a 3, que dá 20. Ele ignora que a ordem altera a senha, como o enunciado destaca.
O aluno calcula 6 × 6 × 6 = 216, permitindo que a mesma letra apareça mais de uma vez. Ele não leu a restrição de que nenhuma letra pode se repetir.
O aluno usa 6 × 5 × 2, achando que restam apenas 2 letras para a terceira posição. Ele erra a contagem das letras restantes, que são 4 após duas escolhas.
Raio-X da questão
permutação de letras
avaliacao
permutação de letras · fatoriais
Revisar o conceito de permutação e combinações de elementos.
Confundir permutação com combinação, ignorando a importância da ordem na formação das senhas.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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