Uma senha tem 4 posições e usa-se apenas as letras A,B,C,D,E e os dígitos 1,2,3. A senha deve conter…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma senha tem 4 posições e usa-se apenas as letras A,B,C,D,E e os dígitos 1,2,3. A senha deve conter exatamente 2 letras e 2 dígitos, sem repetir nenhum símbolo. Quantas senhas diferentes são possíveis?
- A) 120 senhas
- B) 720 senhas
- C) 360 senhas
- D) 600 senhas
- E) 540 senhas
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique as escolhas. A senha tem 4 posições, com exatamente 2 letras (de um conjunto de 5: A, B, C, D, E) e 2 dígitos (de um conjunto de 3: 1, 2, 3), sem repetir nenhum símbolo.
- Escolha quais posições serão letras. Entre as 4 posições, devemos escolher 2 para as letras: C(4,2) = 6 maneiras. As 2 restantes serão dígitos.
- Escolha e ordene as letras. Há 5 opções para a primeira letra e 4 para a segunda, sem repetição: 5 x 4 = 20 arranjos.
- Escolha e ordene os dígitos. Há 3 opções para o primeiro dígito e 2 para o segundo, sem repetição: 3 x 2 = 6 arranjos.
- Multiplique pelo princípio multiplicativo: 6 x 20 x 6 = 720 senhas. Portanto a alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A (120) ignora a diferença entre letras e dígitos e trata todas as posições como se usassem o mesmo conjunto de símbolos. C (360) conta apenas 3 opções para o segundo dígito, esquecendo que ele tem somente 2 opções restantes. D (600) usa 5 opções para os dígitos, como se eles fossem do mesmo conjunto das letras. E (540) trata as letras como combinação, sem considerar a ordem, e permite repetição de dígitos, o que contradiz o enunciado.
💡 Dica: Escolha as posições das letras e permute, sem repetição, as letras e os dígitos.
Alternativa por alternativa
Aplica 5 x 4 x 3 x 2 = 120 como se as 4 posições saíssem de um mesmo conjunto decrescente, sem separar o grupo das letras do grupo dos dígitos nem considerar a escolha das posições.
Há 6 jeitos de escolher as posições das letras. Depois, há 5 opções para a primeira letra, 4 para a segunda, 3 para o primeiro dígito e 2 para o segundo. Então, 6*5*4*3*2 = 720.
Calcula corretamente 6 posições e 20 arranjos de letras, mas no caso dos dígitos considera 3 opções para o segundo dígito em vez de 2, esquecendo a restrição de não repetição.
Por que engana: O aluno pode contar apenas as formas de escolher duas letras e dois dígitos, sem considerar todas as ordens possíveis nas quatro posições da senha.
Usa 5 opções para os dígitos (o mesmo número de letras), confundindo os dois conjuntos de símbolos, que são de tamanhos diferentes (5 letras e 3 dígitos).
Trata as letras como combinação (ignorando a ordem, 10 possibilidades) e permite repetição dos dígitos (3 x 3 = 9), contrariando a exigência de não repetir símbolos e a diferença entre arranjo e combinação.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo e permutação
avaliacao
Princípio multiplicativo da contagem · Permutação sem repetição
Revise o princípio multiplicativo, a escolha de posições e as permutações sem repetição.
O aluno pode contar apenas as formas de escolher duas letras e dois dígitos, sem considerar todas as ordens possíveis nas quatro posições da senha.
tomada_decisao
abstrato
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