Para preparar uma partida em uma quadra de vôlei, uma comissão compara dois planos de configuração. Em ambos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para preparar uma partida em uma quadra de vôlei, uma comissão compara dois planos de configuração. Em ambos, seis jogadores diferentes podem ocupar três funções distintas: capitão, primeiro sacador e especialista defensivo. No plano A, dois jogadores podem ser capitães; no plano B, três podem exercer essa função. Depois de escolhido o capitão, as outras duas funções são atribuídas a jogadores diferentes entre os cinco restantes. O plano A também prevê a escolha de um entre 3 modelos de uniforme e um entre 2 modelos de bola. No plano B, há 2 modelos de uniforme e 4 modelos de bola. Considerando todas as escolhas possíveis em cada plano, qual comparação entre o número de configurações do plano A e do plano B está correta?
- A) No plano A são 288 configurações e no plano B são 576, então o plano B oferece 288 configurações a mais
- B) O plano A permite 240 configurações e o plano B permite 480, portanto o plano B oferece 240 configurações a mais
- C) O plano A permite 300 configurações e o plano B permite 600, portanto o plano B oferece 300 configurações a mais
- D) O plano A totaliza 320 configurações e o plano B totaliza 540, com 220 configurações a mais no plano B
- E) O plano A permite 200 configurações e o plano B permite 360, portanto o plano B oferece 160 configurações a mais
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Em cada plano, após escolher o capitão, as duas funções restantes são ocupadas por jogadores diferentes entre os cinco restantes. Como as funções são distintas, há 5 × 4 = 20 maneiras de designá-los.
- No plano A, há 2 × 20 escolhas de jogadores e 3 × 2 opções de uniforme e bola: 2 × 20 × 3 × 2 = 240 configurações.
- No plano B, há 3 × 20 escolhas de jogadores e 2 × 4 opções de uniforme e bola: 3 × 20 × 2 × 4 = 480 configurações. A diferença é 480 − 240 = 240. Portanto, B está correta.
- A alternativa A usa resultados menores, como se não contabilizasse corretamente todas as escolhas de funções. C superestima os totais; D e E também resultam de combinações incorretas dos fatores.
💡 Dica: Conte as atribuições ordenadas das funções e multiplique pelo número de combinações de uniforme e bola em cada plano.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente não multiplicou corretamente todas as possibilidades independentes de jogadores, uniforme e bola, obtendo totais reduzidos.
No plano A, as escolhas das funções geram 2 x 5 x 4 possibilidades, e os materiais geram 3 x 2; assim, são 240 configurações. No plano B, são 3 x 5 x 4 atribuições e 2 x 4 escolhas de materiais, totalizando 480. A diferença é 480 - 240 = 240.
O aluno provavelmente calculou de forma incorreta o número de escolhas para capitão ou para as duas funções restantes, elevando os totais para 300 e 600.
Por que engana: Tratar capitão, sacador e especialista como funções indistintas ou permitir que um jogador ocupe mais de uma função.
O aluno provavelmente combinou incorretamente os fatores dos planos, chegando a totais que não correspondem ao produto das escolhas independentes.
O aluno provavelmente subcontou algumas possibilidades de jogadores e também não aplicou corretamente as opções de uniforme e bola.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo e contagem de atribuições ordenadas sem repetição.
fixacao
Princípio multiplicativo. · Permutações parciais sem repetição.
Princípio fundamental da contagem em etapas independentes.
Tratar capitão, sacador e especialista como funções indistintas ou permitir que um jogador ocupe mais de uma função.
cotidiano
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog