Para organizar a vitrine de uma banca de jornal, a equipe escolhe um jornal entre 5 títulos, uma revista entre…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para organizar a vitrine de uma banca de jornal, a equipe escolhe um jornal entre 5 títulos, uma revista entre 4 e uma história em quadrinhos entre 3. Os três itens escolhidos ocupam posições distintas em uma fileira, e o jornal não pode ficar na posição central. Cada escolha e cada disposição válida formam uma vitrine diferente. Na semana seguinte, a banca passa a oferecer um sexto título de jornal, sem alterar as demais opções nem a regra de posicionamento. Qual é o efeito dessa mudança no número de vitrines possíveis, em comparação com a semana anterior?
- A) A quantidade passa de 300 para 360 vitrines, um acréscimo de 60, equivalente a 20%
- B) A quantidade passa de 240 para 288 vitrines, um acréscimo de 48, equivalente a 20%
- C) A quantidade passa de 360 para 432 vitrines, um acréscimo de 72, equivalente a 20%
- D) A quantidade passa de 120 para 144 vitrines, um acréscimo de 24, equivalente a 20%
- E) A quantidade passa de 180 para 216 vitrines, um acréscimo de 36, equivalente a 20%
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Há 3 posições distintas em uma fileira. O jornal não pode ocupar a posição central, então há 2 posições possíveis para ele.
- Escolhido o jornal, há 4 opções de revista e 3 de história em quadrinhos. Os dois itens restantes podem ocupar as posições livres em 2 ordens. Assim, na primeira semana: 5 × 2 × 4 × 3 × 2 = 240 vitrines.
- Com 6 títulos de jornal: 6 × 2 × 4 × 3 × 2 = 288 vitrines. O aumento é de 48, que corresponde a 20% de 240. Portanto, B está correta.
- A está errada por partir de 300, C por partir de 360, D por partir de 120 e E por partir de 180; esses valores não contam corretamente as escolhas e disposições válidas. Em todas, o aumento de 20% decorre corretamente da mudança de 5 para 6 jornais, mas as quantidades iniciais e finais não correspondem ao problema.
💡 Dica: Conte as disposições com o jornal fora do centro e compare os totais; calcule também o aumento percentual.
Alternativa por alternativa
O aluno reconhece que acrescentar um jornal aumenta o total em 20%, mas calcula a quantidade inicial como 300, superestimando as combinações válidas de itens e posições.
Entre as seis ordens possíveis dos três itens, quatro deixam o jornal fora da posição central. Assim, inicialmente há 5 x 4 x 3 x 4 = 240 vitrines; com um título adicional, há 6 x 4 x 3 x 4 = 288. O aumento é de 48, que corresponde a 20% de 240.
O aluno aplica corretamente o aumento proporcional de 20%, mas parte de 360 vitrines, resultado de uma contagem incorreta das disposições com o jornal fora do centro.
O aluno considera apenas 120 vitrines na primeira semana, provavelmente deixando de contar todas as ordens possíveis dos itens nas posições restantes; por isso, também obtém um total final baixo.
Por que engana: Contar todas as permutações e esquecer que o jornal não pode ocupar o centro.
O aluno obtém 180 vitrines inicialmente, indicando que omitiu parte das escolhas ou disposições válidas, embora mantenha corretamente o acréscimo proporcional de 20%.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo com restrição de posição
avaliacao
Princípio multiplicativo da contagem · Permutações de três itens distintos
Contagem de permutações com restrições
Contar todas as permutações e esquecer que o jornal não pode ocupar o centro.
cotidiano
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