Durante uma olimpíada de robótica, uma equipe analisa um modelo polinomial que representa, em pontos, a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante uma olimpíada de robótica, uma equipe analisa um modelo polinomial que representa, em pontos, a diferença entre a carga disponível e a carga consumida por um robô ao longo de uma prova. No gráfico descrito pela equipe, a curva é uma parábola com concavidade voltada para cima, cruza o eixo horizontal nos instantes 1 e 7 minutos e tem vértice no ponto (4, -18). O modelo é considerado apenas no intervalo de 0 a 8 minutos. Com base nas informações do gráfico descrito, qual polinômio representa a diferença de carga em função do tempo e em quais intervalos da prova essa diferença é positiva?
- A) p(t) = 2(t - 1)(t - 7) = 2t^2 - 16t + 14; a diferença é positiva de 0 a 1 minuto e de 7 a 8 minutos, sem incluir os instantes 1 e 7
- B) p(t) = 3(t - 1)(t - 7) = 3t^2 - 24t + 21; a diferença é positiva de 0 a 1 minuto e de 7 a 8 minutos, sem incluir 1 e 7
- C) p(t) = 2(t - 1)(t - 7) = 2t^2 - 16t + 14; a diferença é positiva de 0 a 1 minuto e de 7 a 8 minutos, incluindo 1 e 7
- D) p(t) = 2(t - 1)(t - 7) = 2t^2 - 16t + 14; a diferença é positiva entre 1 e 7 minutos, sem incluir esses instantes
- E) p(t) = (t - 1)(t - 7) = t^2 - 8t + 7; a diferença é positiva de 0 a 1 minuto e de 7 a 8 minutos, sem incluir 1 e 7
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- As raízes da parábola são t = 1 e t = 7, pois a curva cruza o eixo horizontal nesses instantes. Logo, p(t) = a(t - 1)(t - 7).
- O vértice está em t = 4, com p(4) = -18. Substituindo: a(4 - 1)(4 - 7) = a(3)(-3) = -9a = -18, portanto a = 2.
- Desenvolvendo, p(t) = 2(t^2 - 8t + 7) = 2t^2 - 16t + 14.
- Como a concavidade é voltada para cima (a = 2 > 0), p(t) é negativa entre as raízes e positiva fora delas. No intervalo considerado de 0 a 8 minutos, p(t) > 0 para 0 ≤ t < 1 e 7 < t ≤ 8. Nos instantes 1 e 7 a diferença é zero, por isso não entram no intervalo positivo.
- Análise das alternativas erradas. B usa a = 3, o que não corresponde ao vértice (4, -18), pois daria -27. C inclui os instantes 1 e 7, mas nesses pontos p(t) = 0, que não é positivo. D inverte o sinal, indicando positividade entre 1 e 7, quando na verdade a parábola é negativa ali. E usa a = 1, o que daria p(4) = -9, e não -18.
- Conclusão: a alternativa A é a correta e coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a forma fatorada p(t)=a(t-1)(t-7) e determine a pelo vértice.
Alternativa por alternativa
Os zeros informados dão p(t) = a(t - 1)(t - 7). No vértice, t = 4 e p(4) = -18; como (4 - 1)(4 - 7) = -9, resulta a = 2. A parábola abre para cima, então o polinômio é positivo fora das raízes; restringindo ao intervalo da prova, isso ocorre em [0,1) e (7,8].
O aluno determinou corretamente as raízes, mas calculou o coeficiente a = 3 sem verificar o vértice, ignorando a condição p(4) = -18.
O aluno acertou o polinômio, mas considerou que os instantes 1 e 7 entram no intervalo positivo, sem perceber que a diferença vale zero nesses pontos.
O aluno inverteu o sinal da parábola, imaginando que ela é positiva entre as raízes, quando a concavidade voltada para cima a torna negativa nesse trecho.
O aluno usou o coeficiente a = 1 e esqueceu de ajustar a escala pelo vértice, obtendo p(4) = -9 em vez de -18.
Por que engana: Esquecer de ajustar o coeficiente a usando o vértice, ou confundir intervalo positivo com negativo.
Raio-X da questão
Função polinomial do 2º grau: forma fatorada e estudo do sinal.
fixacao
Raízes de equação do 2º grau. · Vértice e concavidade de parábola.
Sinal de função quadrática entre e fora das raízes.
Esquecer de ajustar o coeficiente a usando o vértice, ou confundir intervalo positivo com negativo.
cientifico
Questões parecidas com resolução
- Durante um teste, uma equipe acompanhou a carga de uma bateria portátil. Um gráfico cartesiano tem no eixo horizontal o…
- Dados ilustrativos: um técnico de telecomunicações monitora o carregamento de uma bateria de estação remota. Após 4…
- Dados ilustrativos: uma consultoria em tecnologia avaliou o desempenho de um aplicativo de finanças pessoais ao longo…
- Um robô de exploração usa uma bateria cuja carga diminui de forma constante durante um teste. No gráfico, o eixo…
- Em uma instalação artística temporária, uma faixa de luz foi programada para acompanhar uma curva parabólica. No gráfico…
- Em um laboratório escolar, uma câmara de aquecimento é acompanhada durante um ciclo de teste. A equipe registra as…
Todas as questões de Funções: representações numérica, algébrica e gráfica
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog