Dados ilustrativos: uma consultoria em tecnologia avaliou o desempenho de um aplicativo de finanças pessoais…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados ilustrativos: uma consultoria em tecnologia avaliou o desempenho de um aplicativo de finanças pessoais ao longo dos meses de lançamento. O lucro mensal f(x), em milhares de reais, foi modelado por uma função polinomial de segundo grau. Observou-se que o faturamento zerou nos segundo e oitavo meses após a estreia e atingiu valor máximo de 72 mil reais no quinto mês. Além disso, a concavidade do gráfico indica que, após o pico, o lucro volta a cair. A partir dos dados apresentados, determine a expressão algébrica de f(x), em forma polinomial expandida, que descreve o comportamento do lucro mensal.
- A) f(x) = -4x^2 + 40x - 32
- B) f(x) = 8x^2 - 80x + 128
- C) f(x) = -8x^2 + 80x - 128
- D) f(x) = -8x^2 + 40x + 72
- E) f(x) = -8x^2 + 80x + 72
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Como o faturamento zera nos meses 2 e 8, essas são as raízes de f(x). Logo, f(x) = a(x - 2)(x - 8), com a ainda desconhecido. Passo 2: Como o pico ocorre no ponto médio entre as raízes, o vértice está em x = (2 + 8)/2 = 5. Passo 3: Usando o valor máximo de 72 mil reais em x = 5, temos a(5 - 2)(5 - 8) = 72, ou seja, a(3)(-3) = 72, o que dá -9a = 72 e, portanto, a = -8. Como a é negativo, a concavidade é para baixo, o que está de acordo com o enunciado. Passo 4: Expandindo, f(x) = -8(x - 2)(x - 8) = -8(x^2 - 10x + 16) = -8x^2 + 80x - 128. Passo 5: Conferindo, f(5) = -8(25) + 80(5) - 128 = -200 + 400 - 128 = 72, como esperado. Passo 6: A alternativa A está errada porque seu valor de f(5) é 68 e não 72. A alternativa B está errada porque tem concavidade para cima, contrariando o enunciado. A alternativa D está errada porque f(0) = 72 e não f(2) = 0. A alternativa E está errada porque, embora o coeficiente de x seja correto, f(2) não é zero. Passo 7: Conclusão: a resposta correta é a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use as raízes e o valor máximo para montar a função quadrática.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente encontrou a concavidade correta, mas errou o fator de escala, usando a = -4 em vez de -8, e não verificou se as raízes ou o valor máximo batiam com os dados.
Por que engana: Confundir sinais dos coeficientes ou não aplicar corretamente as condições das raízes e do vértice.
O aluno provavelmente ignorou a informação de que o lucro volta a cair após o pico, o que exige concavidade para baixo, e escolheu um coeficiente positivo para x^2.
Expansão de -8(x-5)^2 + 72 resulta em -8x^2 + 80x - 128, com raízes em x=2 e x=8 e vértice (5,72).
O aluno provavelmente tomou o valor máximo de 72 como o termo independente, supondo f(0) = 72, e não a imagem do vértice. Isso mostra confusão entre intercepto vertical e valor máximo.
O aluno provavelmente usou corretamente a e o coeficiente de x, mas substituiu o termo independente pelo valor máximo 72, confundindo f(0) com f(5) e ignorando que as raízes devem ser 2 e 8.
Raio-X da questão
função quadrática, raízes, vértice
avaliacao
função polinomial de segundo grau · cálculo de vértice e raízes
Estude função quadrática, cálculo de raízes e vértice.
Confundir sinais dos coeficientes ou não aplicar corretamente as condições das raízes e do vértice.
pensamento_critico
cotidiano
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