No projeto de uma passagem elevada sobre uma ciclovia, a altura h, em metros, do trecho curvo em relação ao…

Questão

No projeto de uma passagem elevada sobre uma ciclovia, a altura h, em metros, do trecho curvo em relação ao piso varia conforme a distância horizontal x, em metros, medida a partir de uma das extremidades. O gráfico do projeto é uma parábola com vértice no ponto (2, 4) e intercepta o eixo horizontal em x = 0 e x = 4. Assim, a altura pode ser modelada por h = -x^2 + 4x. Um sensor será instalado onde a passagem está a 3 metros do piso. Com base nos dados descritos para o gráfico, determine as distâncias horizontais x em que a passagem atinge essa altura e mostre como a equação do segundo grau permite encontrá-las.

1. A) Igualando a altura a 3, obtém-se -x^2 + 4x = 4, ou x^2 - 4x + 4 = 0. Fatorando, (x - 2)^2 = 0; portanto, a passagem atinge a altura indicada na distância x = 2 m.
2. B) Igualando a altura a 2, obtém-se -x^2 + 4x = 2, ou x^2 - 4x + 2 = 0. Pela fórmula quadrática, as raízes são aproximadamente x = 0,59 m e x = 3,41 m no trecho da passagem.
3. C) Igualando a altura a 3, obtém-se -x^2 + 5x = 3, ou x^2 - 5x + 3 = 0. Pela fórmula quadrática, as distâncias são aproximadamente x = 0,70 m e x = 4,30 m a partir da extremidade indicada.
4. D) Igualando a altura a 3, obtém-se -x^2 + 4x = 3, ou x^2 - 4x + 3 = 0. Fatorando, (x - 1)(x - 3) = 0; portanto, a passagem está a 3 metros do piso nas distâncias x = 1 m e x = 3 m a partir da extremidade indicada.
5. E) Igualando a altura a 3, obtém-se -x^2 + 3x = 2, ou x^2 - 3x + 2 = 0. Fatorando, (x - 1)(x - 2) = 0; portanto, essas são as distâncias em que a passagem atinge a altura indicada.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique a condição do problema. A altura h = -x^2 + 4x deve ser igual a 3 metros, pois o sensor fica a 3 m do piso.
2. Monte a equação: -x^2 + 4x = 3. Passando todos os termos para o mesmo lado, obtemos x^2 - 4x + 3 = 0.
3. Resolva a equação do segundo grau por fatoração. Procuramos dois números cuja soma seja 4 e cujo produto seja 3, que são 1 e 3. Logo, (x - 1)(x - 3) = 0.
4. Encontre as raízes: x = 1 ou x = 3. Pela fórmula de Bhaskara, delta = 16 - 12 = 4, e x = (4 ± 2)/2, o que confirma x = 1 e x = 3.
5. Verifique. Para x = 1, h = -1 + 4 = 3. Para x = 3, h = -9 + 12 = 3. Ambas as distâncias estão corretas.
6. Analise as alternativas erradas. A) Usa altura 4 em vez de 3, o que leva ao vértice e a uma única raiz, errado. B) Usa altura 2 em vez de 3. C) Altera o coeficiente de x de 4 para 5, e a equação resultante não corresponde ao modelo. E) Altera o modelo para -x^2 + 3x e usa altura 2, ambos incorretos. Apenas a alternativa D está de acordo com o enunciado: altura 3, modelo original e raízes 1 e 3 m.

💡 Dica: Substitua h = 3 em -x² + 4x e reescreva como x² - 4x + 3 = 0, depois fatore.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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