Durante a reforma de um imóvel, a equipe registra a massa de um composto usado para preencher uma faixa de…

Questão

Durante a reforma de um imóvel, a equipe registra a massa de um composto usado para preencher uma faixa de reparo. Para uma largura x, em centímetros, a estimativa da massa M, em quilogramas, é M(x) = 2,5 × 10^-3 x^2 + 1,0 × 10^-2 x. Em uma etapa da obra, foram usados 1,5 × 10^-1 kg do composto. O modelo considera que a massa cresce com a largura da faixa e também com sua área de preenchimento. Com base no modelo e na massa registrada, determine a largura da faixa. Apresente a equação do segundo grau obtida, resolva-a e explique como o significado das raízes permite interpretar o resultado na situação da reforma.

1. A) Igualando a massa estimada à massa registrada, obtém-se 2,5 × 10^-3 x^2 + 1,0 × 10^-2 x = 1,5 × 10^-1. Dividindo os dois lados por 2,5 × 10^-3, resulta x^2 + 4x - 60 = 0, que pode ser fatorada como (x + 10)(x - 6) = 0. As raízes são x = -10 e x = 6. Como a largura de uma faixa não pode ser negativa, a medida compatível com a reforma é 6 cm.
2. B) Com a massa registrada no modelo, a equação obtida é x^2 + 4x - 60 = 0. Aplicando Bhaskara, considera-se que o discriminante tem raiz quadrada igual a 20; desse modo, a solução positiva é x = 8 cm. Essa raiz é escolhida por indicar uma medida positiva para a faixa usada na reforma.
3. C) A massa registrada conduz à equação x^2 + 4x - 60 = 0 depois da divisão pelo coeficiente de x^2. Na resolução pela fórmula de Bhaskara, toma-se 18 como raiz do discriminante e encontra-se x = 7 cm. Como se trata de um valor positivo, ele é interpretado como a largura da faixa de reparo.
4. D) Igualando a massa estimada à registrada e dividindo por 2,5 × 10^-3, obtém-se x^2 + 4x - 60 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, considera-se que a raiz do discriminante é 12, resultando em x = 4 cm para a faixa; essa medida é positiva e compatível com a reforma.
5. E) Substituindo 1,5 × 10^-1 kg no modelo e organizando os termos, chega-se a x^2 + 4x - 60 = 0. Ao aplicar a fórmula de Bhaskara, obtém-se 14 como raiz do discriminante, e a solução positiva fica x = 5 cm; ela é tomada como a largura da faixa na etapa da obra.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Igualar a massa estimada à massa registrada: 2,5 × 10^-3 x^2 + 1,0 × 10^-2 x = 1,5 × 10^-1.
2. Multiplicar tudo por 1000 para eliminar as potências de dez: 2,5 x^2 + 10 x = 150.
3. Dividir por 2,5: x^2 + 4x - 60 = 0.
4. Calcular o discriminante: delta = 4^2 - 4·1·(-60) = 16 + 240 = 256, cuja raiz quadrada é 16.
5. Aplicar Bhaskara: x = (-4 ± 16)/2, logo x = 6 ou x = -10. Também é possível fatorar: (x + 10)(x - 6) = 0.
6. Interpretar as raízes. Largura é uma medida física e não pode ser negativa, então x = -10 é descartada. A única solução compatível com a reforma é x = 6 cm, que é a largura da faixa para a qual o modelo prevê exatamente 0,15 kg de composto.
7. Verificação: para x = 6, 2,5 × 10^-3 · 36 + 1,0 × 10^-2 · 6 = 0,09 + 0,06 = 0,15 kg, o que confirma a resposta.
8. Por que as outras estão erradas: B usa raiz de delta igual a 20, o que está incorreto pois a raiz é 16; C toma raiz de delta igual a 18, cálculo errado do discriminante; D usa raiz de delta igual a 12, valor que não corresponde ao discriminante 256; E usa raiz de delta igual a 14, também incorreto. Em todas, o erro está no cálculo da raiz quadrada do discriminante, não na equação, que está corretamente obtida em todas as alternativas.

💡 Dica: Iguale M(x) a 0,15, divida por 2,5 × 10^-3 e fatore a equação resultante.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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