Durante uma inspeção em um farol costeiro, a equipe registra a intensidade luminosa de um feixe em diferentes…

Questão

Durante uma inspeção em um farol costeiro, a equipe registra a intensidade luminosa de um feixe em diferentes instantes após o início de um ciclo de ajuste. O gráfico, descrito em palavras, é uma parábola voltada para baixo: o eixo horizontal representa o tempo t, em segundos, e o vertical representa q, em milhares de lux. O modelo indicado é q(t) = -2t^2 + 12t + 8, válido para 0 <= t <= 6. Assim, por exemplo, q = 10 corresponde a 1,0 × 10^4 lux. A equipe considera que o feixe atende ao padrão de inspeção enquanto sua intensidade é de pelo menos 1,0 × 10^4 lux. Com base no modelo e na descrição do gráfico, determine o intervalo de tempo em que o padrão é atendido e a duração total desse intervalo.

1. A) A condição é q(t) >= 10, ou seja, -2t^2 + 12t + 8 >= 10. A igualdade ocorre em t = 3 - 2 raiz quadrada de 2 e t = 3 + 2 raiz quadrada de 2. Como a parábola é voltada para baixo, o padrão é atendido entre esses instantes, inclusive. A duração é 4 raiz quadrada de 2 segundos, aproximadamente 5,66 segundos.
2. B) A condição é q(t) >= 10, e o padrão é atendido de t = 1 a t = 5, inclusive. A duração total desse intervalo é 4 segundos. Como q representa milhares de lux, o limite considerado é 10; os instantes indicados são os cruzamentos adotados para esse limite no modelo.
3. C) A condição é q(t) >= 10, e o padrão é atendido durante todo o intervalo definido para o modelo, de t = 0 a t = 6, inclusive. A duração total é 6 segundos. Como a intensidade aumenta e depois diminui na parábola, o intervalo de validade do modelo é tomado como o período completo de atendimento.
4. D) A condição é q(t) >= 10, e o padrão é atendido de t = 0,5 a t = 5,5, inclusive. A duração total desse intervalo é 5 segundos. Como o limite corresponde a q = 10, esses instantes representam os cruzamentos considerados pela equipe, e a concavidade para baixo indica atendimento entre eles.
5. E) A condição é q(t) >= 10, e o padrão é atendido de t = 1,5 a t = 4,5, inclusive. A duração total desse intervalo é 3 segundos. O limite de intensidade equivale a q = 10, e, por a parábola ser voltada para baixo, considera-se o trecho entre os dois instantes em que o feixe alcança esse limite.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. O padrão é atendido quando q(t) >= 10, pois 1,0 × 10^4 lux equivale a q = 10 (milhares de lux). Passo 2: Escrevemos a inequação -2t^2 + 12t + 8 >= 10, que equivale a -2t^2 + 12t - 2 >= 0. Dividindo por -2 (invertendo o sentido da desigualdade): t^2 - 6t + 1 <= 0. Passo 3: As raízes da equação t^2 - 6t + 1 = 0 são t = (6 ± raiz de (36 - 4))/2 = 3 ± raiz de 8 / 2... simplificando: t = 3 ± raiz de 8 / 2 = 3 ± raiz de 2. Ou seja, t = 3 - 2 raiz de 2 e t = 3 + 2 raiz de 2 (usando raiz de 8 = 2 raiz de 2 e dividindo por 2 corretamente: t = 3 ± raiz de 2 ... verificando pelo discriminante: Delta = 36 - 4 = 32, raiz de 32 = 4 raiz de 2, logo t = (6 ± 4 raiz de 2)/2 = 3 ± 2 raiz de 2). Passo 4: Como a parábola q(t) tem concavidade para baixo, a região em que q(t) >= 10 é o intervalo entre as raízes, inclusive: 3 - 2 raiz de 2 <= t <= 3 + 2 raiz de 2. Como 3 - 2 raiz de 2 é aproximadamente 0,17 e 3 + 2 raiz de 2 é aproximadamente 5,83, ambos estão dentro de 0 <= t <= 6. Passo 5: A duração é (3 + 2 raiz de 2) - (3 - 2 raiz de 2) = 4 raiz de 2, aproximadamente 5,66 segundos. Passo 6: Por que as outras estão erradas: B assume limites inteiros arbitrários (1 e 5) que não são raízes do modelo; C confunde o intervalo de validade do modelo com o intervalo de atendimento; D usa instantes 0,5 e 5,5 sem correspondência com as raízes; E usa 1,5 e 4,5, também sem correspondência com o modelo. A alternativa A é a correta e coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Resolva q(t)>=10 como -2t²+12t-2>=0 e use a fórmula de Bhaskara; a concavidade para baixo indica o intervalo entre as raízes.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Em uma área costeira, dois faróis orientam embarcações durante um período de baixa visibilidade. O farol A emite seu…
• Durante uma apresentação em uma praça brasileira, um jato de água é lançado para cima. Nos primeiros segundos, sua…
• Em um laboratório escolar, uma câmara de aquecimento é acompanhada durante um ciclo de teste. A equipe registra as…
• Folhas molhadas refletem a luz do sol enquanto um jato de água jorra de uma fonte pública recentemente redesenhada…
• Dados estatísticos ilustrativos indicam o número Q de itens repostos em prateleiras de um supermercado ao longo de t…
• Em um ateliê, uma vela cilíndrica é acesa durante um teste. O gráfico tem no eixo horizontal o tempo decorrido, em…

Todas as questões de Números reais: notação científica e problemas