No abrigo de animais Patas Seguras, a equipe monitora o tempo de funcionamento de dois filtros de água. Para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No abrigo de animais Patas Seguras, a equipe monitora o tempo de funcionamento de dois filtros de água. Para cada filtro, um modelo quadrático indica os instantes, em horas após o início do monitoramento, em que a leitura coincide com o valor de referência. Para o filtro A, o modelo é t^2 - 7t + 10 = 0; para o filtro B, é t^2 - 9t + 20 = 0. Como t representa tempo transcorrido, são considerados apenas valores positivos. Resolva as equações dos dois modelos e determine qual filtro atinge primeiro o valor de referência e quantas horas antes isso ocorre.
- A) No filtro A, as soluções são t = 1 e t = 6 horas; no filtro B, são t = 4 e t = 5 horas. Considerando o primeiro instante positivo de cada filtro, o A atinge o valor de referência 3 horas antes do B.
- B) No filtro A, as soluções são t = 3 e t = 4 horas; no filtro B, são t = 4 e t = 5 horas. Considerando o primeiro instante positivo de cada filtro, o A atinge o valor de referência 1 hora antes do B.
- C) No filtro A, as soluções são t = 2 e t = 5 horas; no filtro B, são t = 4 e t = 5 horas. Considerando os instantes finais, o B atinge o valor de referência 1 hora antes do A.
- D) No filtro A, as soluções são t = 2 e t = 5 horas; no filtro B, são t = 2 e t = 10 horas. Considerando o primeiro instante positivo de cada filtro, o B atinge o valor de referência 3 horas antes do A.
- E) No filtro A, as soluções são t = 2 e t = 5 horas; no filtro B, são t = 4 e t = 5 horas. Considerando o primeiro instante positivo de cada filtro, o A atinge o valor de referência 2 horas antes do B.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Resolver a equação do filtro A, t^2 - 7t + 10 = 0. Procuramos dois números cuja soma é 7 e cujo produto é 10: são 2 e 5. Logo, (t - 2)(t - 5) = 0, e as soluções são t = 2 e t = 5 horas.
- Resolver a equação do filtro B, t^2 - 9t + 20 = 0. Procuramos dois números cuja soma é 9 e cujo produto é 20: são 4 e 5. Logo, (t - 4)(t - 5) = 0, e as soluções são t = 4 e t = 5 horas.
- Comparar os primeiros instantes positivos. No filtro A, o primeiro instante é t = 2 h; no filtro B, é t = 4 h. Assim, o filtro A atinge o valor de referência primeiro, com diferença de 4 - 2 = 2 horas.
- Verificar as alternativas erradas. A: as raízes do filtro A estão erradas (a soma das raízes de t^2 - 7t + 10 é 7, e 1 + 6 = 7 mas o produto 6 não é 10). B: as raízes do filtro A estão erradas (3 e 4 têm soma 7 mas produto 12). C: considera os instantes finais e inverte a comparação, sendo que o instante final do A (5) e do B (5) são iguais. D: as raízes do filtro B estão erradas (2 e 10 não têm soma 9). Portanto, a alternativa correta é a E, coincidindo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Fatore cada trinomio em (t-a)(t-b) e compare o menor valor positivo de cada filtro.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente escolheu 1 e 6 como raízes de t^2 - 7t + 10 apenas por terem soma 7, sem verificar o produto, que deveria ser 10.
O aluno pode ter encontrado 3 e 4 pela soma 7 sem checar o produto (12 em vez de 10) e comparou erroneamente a diferença como 1 hora.
O aluno considerou os instantes finais, nos quais ambos os filtros coincidem em t = 5, e ainda inverteu a comparação, afirmando que o B atinge antes.
Por que engana: Escolher apenas uma raiz por equacao ou inverter primeiro e ultimo instante.
O aluno errou ao fatorar a equação do filtro B, tomando 2 e 10 como raízes, cuja soma é 12 e não 9, e inverteu quem atinge primeiro.
As equações fatoram-se em (t - 2)(t - 5) = 0 e (t - 4)(t - 5) = 0. Os primeiros instantes positivos são 2 e 4 horas; a diferença é 4 - 2 = 2 horas.
Raio-X da questão
Resolucao de equacoes do 2o grau por fatoracao e comparacao de raizes positivas.
fixacao
Produto e soma das raizes de um trinomio do 2o grau. · Operacoes com numeros inteiros e ordenacao de valores.
Raizes de equacao quadratica e interpretacao de solucoes no contexto.
Escolher apenas uma raiz por equacao ou inverter primeiro e ultimo instante.
cotidiano
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