Em uma estação de monitoramento, um sensor compara a temperatura prevista por um modelo quadrático com a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma estação de monitoramento, um sensor compara a temperatura prevista por um modelo quadrático com a temperatura de referência. A diferença, em graus Celsius, após t horas é representada por D(t) = 2t^2 - 8t + 11, para 0 <= t <= 4. O instante em que D(t) = 0 corresponderia a uma coincidência entre as duas temperaturas. Com base no modelo, é possível que as temperaturas coincidam em algum instante desse intervalo?
- A) Não, pois a função não tem raízes reais e a diferença permanece positiva no intervalo.
- B) Sim, pois a diferença é nula nos extremos do intervalo considerado pelo modelo.
- C) Sim, pois a função tem uma raiz real e a diferença se anula em um instante do intervalo.
- D) Sim, pois a função tem duas raízes reais e a diferença se anula em dois instantes do intervalo.
- E) Sim, pois o vértice da parábola está no eixo horizontal e indica um instante de diferença nula.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Queremos saber se D(t) = 2t^2 - 8t + 11 se anula para algum t entre 0 e 4. Passo 2: Calcule o discriminante de 2t^2 - 8t + 11 = 0: delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(2)(11) = 64 - 88 = -24. Como delta é negativo, a equação não possui raízes reais. Passo 3: Como o coeficiente de t^2 é positivo (2 > 0), a parábola tem concavidade para cima e seu valor mínimo é o y do vértice. O vértice está em t = -b/(2a) = 8/4 = 2, e D(2) = 2(4) - 16 + 11 = 3 > 0. Logo, D(t) é sempre positiva e nunca se anula no intervalo, então não há coincidência entre as temperaturas. Passo 4: A alternativa A está correta. A alternativa B está errada, pois D(0) = 11 e D(4) = 32 - 32 + 11 = 11, nenhum dos extremos anula a diferença. A alternativa C está errada, pois a função não possui raiz real alguma. A alternativa D está errada, pois não existem duas raízes reais, o delta é negativo. A alternativa E está errada, pois o vértice está em (2, 3): o eixo horizontal é o eixo y, e a ordenada do vértice é 3, diferente de zero. Passo 5: Conclusão: o gabarito oficial A está correto e a resposta à pergunta é não, segundo o modelo.
💡 Dica: Calcule o discriminante ou encontre o valor mínimo da função no intervalo.
Alternativa por alternativa
O discriminante é (-8)^2 - 4·2·11 = -24, portanto a função não possui raízes reais. Como a parábola tem concavidade para cima e seu valor mínimo ocorre em t = 2, com D(2) = 3, a diferença é positiva em todo o intervalo.
Supõe que, por ser o intervalo fechado, a diferença precisa ser zero nas extremidades, sem calcular D(0) e D(4). Na verdade D(0) = 11 e D(4) = 11.
Admite que existe uma raiz real, provavelmente por erro no cálculo do discriminante ou por supor que toda parábola tocando o eixo deve ter exatamente uma raiz. Com delta = -24, não há raiz real.
Calcula o discriminante com sinal trocado (64 + 88 = 152 em vez de 64 - 88), concluindo indevidamente que existem duas raízes reais. O delta correto é -24.
Por que engana: Concluir que há coincidência por haver duas raízes reais, sem verificar se pertencem ao intervalo.
Confunde o vértice com um ponto de diferença nula, achando que estar sobre o eixo horizontal significa valor zero. O vértice é (2, 3), e o eixo horizontal representa t, não a diferença.
Raio-X da questão
Raízes reais e sinal de função quadrática.
Avaliar se o aluno i
Resolução de equações do segundo grau. · Interpretação do gráfico e do vértice de uma parábola.
Discriminante e vértice da parábola.
Concluir que há coincidência por haver duas raízes reais, sem verificar se pertencem ao intervalo.
Monitoramento de dif
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