Em uma obra, serão instaladas duas rampas retas, cada uma avançando 8 m na horizontal. A primeira terá…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma obra, serão instaladas duas rampas retas, cada uma avançando 8 m na horizontal. A primeira terá inclinação de 30° em relação ao solo, e a segunda, de 45°. Para estimar a elevação vertical de cada rampa, considere tan 30° = raiz quadrada de 3/3 e tan 45° = 1. Observe o esquema das duas rampas, representadas como triângulos retângulos. Qual será a diferença entre as elevações verticais alcançadas pelas duas rampas?
- A) A rampa de 45° ficará mais alta, e a diferença entre as elevações será de aproximadamente 5,33 m.
- B) A rampa de 45° ficará mais alta, e a diferença entre as elevações será de aproximadamente 1,66 m.
- C) A soma das elevações das duas rampas será de aproximadamente 12,62 m.
- D) A rampa de 45° ficará mais alta, e a diferença entre as elevações será de 8 - 8 raiz quadrada de 3/3 m, aproximadamente 3,38 m.
- E) A rampa de 30° ficará mais alta, e a diferença entre as elevações será de aproximadamente -3,38 m.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Em um triângulo retângulo, tan(ângulo) = elevação vertical / avanço horizontal. Portanto, a elevação é o avanço horizontal vezes a tangente do ângulo.
- Para a rampa de 30°, a elevação é 8 × (√3/3) ≈ 4,62 m. Para a rampa de 45°, é 8 × 1 = 8 m.
- A diferença é 8 − 8√3/3 ≈ 8 − 4,62 = 3,38 m; logo, a rampa de 45° fica mais alta. Isso corresponde à alternativa D.
- A alternativa A apresenta uma diferença excessiva; B subestima a diferença; C calcula uma soma, não a diferença solicitada; e E inverte qual rampa fica mais alta e ainda indica uma diferença negativa.
💡 Dica: Calcule cada altura por h = 8 tan(ângulo) e subtraia a menor da maior.
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter calculado incorretamente a elevação de uma ou das duas rampas, obtendo uma diferença de 5,33 m. A aplicação correta da tangente resulta em aproximadamente 3,38 m.
Por que engana: Somar as alturas ou inverter a ordem da subtração, obtendo uma diferença negativa.
O aluno reconhece que a rampa de 45° fica mais alta, mas calcula ou subtrai as elevações de modo incorreto, chegando a 1,66 m em vez de aproximadamente 3,38 m.
O aluno soma as elevações das rampas, embora o enunciado peça a diferença entre elas. A soma não responde ao que foi perguntado.
A elevação corresponde ao cateto oposto e o avanço horizontal ao cateto adjacente. Assim, as alturas são 8 tan 30° = 8 raiz quadrada de 3/3 m e 8 tan 45° = 8 m; subtraindo a menor da maior, obtém-se aproximadamente 3,38 m.
O aluno inverte a comparação entre as inclinações: com o mesmo avanço horizontal, a tangente de 45° é maior que a de 30°, então a rampa de 45° alcança maior elevação.
Raio-X da questão
Tangente como razão entre cateto oposto e cateto adjacente.
fixacao
Identificação dos catetos oposto e adjacente ao ângulo. · Valores notáveis de seno, cosseno e tangente.
Razões trigonométricas em triângulos retângulos.
Somar as alturas ou inverter a ordem da subtração, obtendo uma diferença negativa.
cotidiano
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