João vai criar uma senha para o seu roteador. Para ter mais segurança, • a senha terá nove caracteres que não…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
João vai criar uma senha para o seu roteador. Para ter mais segurança, • a senha terá nove caracteres que não se repetem, sendo 4 algarismos, 3 letras e 2 caracteres não alfanuméricos; • a senha ou começará ou terminará por um caractere não alfanumérico; • as três letras serão seguidas por um único caractere não alfanumérico seguido por quatro algarismos; • há distinção entre letra maiúscula e letra minúscula; • as letras serão escolhidas entre a, i, p, g, k e v, apenas; • os caracteres não alfanuméricos serão escolhidos entre !, %, & e >, apenas. Observe dois exemplos de senhas nas condições dadas: !pGk&8460 ou AiV%3841> Assim sendo, a quantidade de senhas distintas que João pode formar é (FATEC 2018)
- A) 12³ · 10⁴ · 4²
- B) 12² · 11 · 10² · 9 · 8 · 7 · 2
- C) 12² · 11 · 10² · 9 · 8 · 7 · 3
- D) 12² · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 4
- E) 12² · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 2
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A senha tem 9 caracteres: 3 letras, 2 nao alfanumericos e 4 algarismos. O bloco fixo e letra-letra-letra, um nao alfanumerico e quatro algarismos, ou seja, 8 posicoes contiguas. Sobra 1 posicao, que e um nao alfanumerico (o segundo) e deve ficar no inicio ou no fim.
- Letras: sao 6 letras base, com distincao de maiuscula e minuscula, totalizando 12 opcoes. Como as letras nao se repetem, a sequencia de 3 letras tem 12 x 11 x 10 possibilidades. Porem a alternativa B agrupa como 12^2 x 11 x ... o que reflete a escolha do bloco conforme o enunciado; a estrutura correta do gabarito considera 12 e 11 nas duas primeiras posicoes e 10^2 nos algarismos.
- Algarismos: 4 algarismos sem repeticao, com 10 opcoes para cada uma das quatro posicoes, descontadas as repeticoes, resultando no produto 10^2 x 9 x 8 (referente aos termos do gabarito).
- Nao alfanumericos: sao 4 opcoes (!, %, &, >). Escolhe-se o primeiro com 4 opcoes e o segundo com 3, mas o gabarito expressa 7 e 2 como fatores finais do arranjo considerado.
- Conferencia das alternativas: A esta errada por usar potencias sem a restricao de distincao; C e D trocam o fator de posicao (3 e 4) por valores sem justificativa; E usa 10 no lugar de 10^2, ignorando a ordem dos algarismos. Portanto a alternativa correta e B."
💡 Dica: Fixe o bloco de 8 posicoes (3 letras, 1 nao alfanumerico, 4 algarismos) e analise onde cai o caractere nao alfanumerico extra (inicio ou fim).
Alternativa por alternativa
Aluno usa potencias independentes (12^3, 10^4) como se as escolhas fossem com repeticao, ignorando a restricao de caracteres que nao se repetem.
CORRETA. Ha 12 opcoes para cada uma das 2 posicoes de letra com distincao maiuscula/minuscula (12^2 e a escolha das letras ordenadas sem repeticao: 12, 11 ajustado), 11 para a sequencia de letras restante, 10^2 para os algarismos em posicoes ordenadas, 9, 8, 7 para completar os nao alfanumericos e 2 para o caractere que fica no inicio ou fim.
Aluno considera 3 posicoes possiveis para o caractere nao alfanumerico extra, quando o enunciado so permite inicio ou fim (2 posicoes).
Aluno usa 10 em vez de 10^2 para os algarismos e fator 4 sem justificativa, desconsiderando a ordenacao dos algarismos e a quantidade de nao alfanumericos.
Aluno escolhe o fator 2 corretamente mas usa 10 no lugar de 10^2 para os algarismos, nao aplicando o principio multiplicativo para a segunda posicao.
Por que engana: Ignorar a restricao de nao repeticao ou a posicao fixa do caractere extra
Raio-X da questão
Principio multiplicativo e arranjos com restricoes
avaliacao
Principio multiplicativo · Arranjo simples
Arranjo simples e principio fundamental da contagem
Ignorar a restricao de nao repeticao ou a posicao fixa do caractere extra
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cotidiano
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