Uma empresa brasileira de equipamentos para tratamento de água está redesenhando um filtro cilíndrico fechado…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma empresa brasileira de equipamentos para tratamento de água está redesenhando um filtro cilíndrico fechado. No modelo atual, o raio da base mede 4 cm e a altura mede 10 cm. No novo projeto, o raio será aumentado em 25% e a altura será reduzida em 20%. Para comparar a quantidade de material necessária, considera-se a área superficial total do cilindro, incluindo as duas bases, e desprezam-se as emendas. Com base nas dimensões informadas, qual será o efeito da mudança sobre a área superficial total do filtro, em comparação com o modelo atual?
- A) A área passará de 112 pi cm² para 96 pi cm², uma redução de 16 pi cm², equivalente a aproximadamente 14,3%.
- B) A área passará de 112 pi cm² para 104,125 pi cm², uma redução de 7,875 pi cm², equivalente a aproximadamente 7,0%.
- C) A área passará de 112 pi cm² para 130 pi cm², um aumento de 18 pi cm², equivalente a aproximadamente 16,1%.
- D) A área passará de 112 pi cm² para 80 pi cm², uma redução de 32 pi cm², equivalente a aproximadamente 28,6%.
- E) A área passará de 112 pi cm² para 170 pi cm², um aumento de 58 pi cm², equivalente a aproximadamente 51,8%.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A área superficial total de um cilindro fechado é 2πr² + 2πrh. No modelo atual, r = 4 cm e h = 10 cm: 2π(4²) + 2π(4)(10) = 32π + 80π = 112π cm².
- No novo projeto, o raio aumenta 25%, passando a 5 cm, e a altura diminui 20%, passando a 8 cm. Assim, a área é 2π(5²) + 2π(5)(8) = 50π + 80π = 130π cm².
- A área aumenta 130π − 112π = 18π cm². Em relação à área inicial, isso corresponde a (18/112) × 100 ≈ 16,1%. Portanto, a alternativa C está correta.
💡 Dica: Calcule a área total antes e depois usando 2pir² + 2pirh; aplique separadamente os percentuais ao raio e à altura.
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter considerado a redução da altura, mas não aplicado corretamente o aumento do raio às áreas das bases e à área lateral. Por isso obtém uma área final menor, embora a substituição dos novos valores resulte em 130π cm².
Por que engana: Aplicar a mesma variação percentual à área total ou alterar incorretamente as dimensões antes de usar a fórmula.
O aluno provavelmente calculou a área final com uma aplicação incorreta das porcentagens ou da fórmula da área total. Com raio 5 cm e altura 8 cm, a área correta é 130π cm², não 104,125π cm².
A área total de um cilindro fechado é 2 pi r² + 2 pi r h. No modelo atual, ela vale 112 pi cm²; no novo, com raio de 5 cm e altura de 8 cm, vale 130 pi cm². O aumento relativo é 18/112, aproximadamente 16,1%.
O aluno pode ter tratado a redução de 20% na altura como se reduzisse toda a área do cilindro, sem considerar que o raio aumenta e que as duas bases também contribuem para a área total.
O aluno pode ter considerado o aumento do raio, mas ignorado ou aplicado incorretamente a redução da altura, superestimando a área final. A área correta com as novas dimensões é 130π cm².
Raio-X da questão
Área superficial total do cilindro
avaliacao
Fórmula da área total do cilindro · Cálculo de porcentagens e operações algébricas
Efeito de variações percentuais nas dimensões sobre a área total
Aplicar a mesma variação percentual à área total ou alterar incorretamente as dimensões antes de usar a fórmula.
Uso eficiente de materiais em equipamentos de tratamento de água
cotidiano
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