Uma empresa projeta um recipiente cilíndrico fechado para uma linha de produtos. No projeto inicial, o raio da…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma empresa projeta um recipiente cilíndrico fechado para uma linha de produtos. No projeto inicial, o raio da base é r e a altura é 2r. Para uma nova versão, o raio será 20% maior, mas a área total de material usada na superfície lateral e nas duas bases deverá permanecer igual à do projeto inicial. Considerando que o recipiente mantém formato cilíndrico, qual será o efeito dessa mudança sobre seu volume?
- A) O volume diminuirá 13,6% em relação ao projeto inicial.
- B) O volume aumentará 8% em relação ao projeto inicial.
- C) O volume diminuirá 6,4% em relação ao projeto inicial.
- D) O volume aumentará 72,8% em relação ao projeto inicial.
- E) O volume diminuirá 28% em relação ao projeto inicial.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- No projeto inicial, a área total é a soma das duas bases com a área lateral: 2*pi*r^2 + 2*pi*r*(2r) = 2*pi*r^2 + 4*pi*r^2 = 6*pi*r^2. O volume inicial é V1 = pi*r^2*(2r) = 2*pi*r^3. Passo 2: Na nova versão, o raio é R = 1,2r (20% maior). A restrição é que a área total continue 6*pi*r^2, então a nova altura h deve satisfazer 2*pi*R^2 + 2*pi*R*h = 6*pi*r^2. Substituindo R = 1,2r: 2*pi*(1,44r^2) + 2*pi*(1,2r)*h = 6*pi*r^2, ou seja, 2,88*pi*r^2 + 2,4*pi*r*h = 6*pi*r^2. Isolando: 2,4*pi*r*h = 3,12*pi*r^2, logo h = 1,3r. Passo 3: O novo volume é V2 = pi*(1,2r)^2*(1,3r) = pi*(1,44r^2)*(1,3r) = 1,872*pi*r^3. Passo 4: Comparando, V2/V1 = 1,872*pi*r^3 / (2*pi*r^3) = 0,936, ou seja, o volume diminui 6,4%. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A tem uma redução maior do que a obtida; B supõe aumento, mas a restrição de área força a altura a cair; D pressupõe que todas as dimensões crescem 20%, o que ignora a restrição de área; E supõe redução maior do que a real. O gabarito C está correto.
💡 Dica: Iguale as áreas totais e determine como a altura varia quando o raio aumenta 20%.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente fez a conta da altura ou do volume com um erro de procedimento na relação entre área e altura, chegando a uma redução maior que a real. Não respeitou corretamente a igualdade de área total.
Por que engana: Aumentar o raio em 20% e supor que a altura permanece igual.
O aluno acredita que, como o raio aumentou, o volume deve aumentar, sem perceber que a altura precisa diminuir para manter a área total. Ignora o efeito da restrição de área sobre a altura.
A área inicial é 2pir² + 2pir(2r) = 6pir². Com raio 1,2r e a mesma área total, a nova altura é (6pir² - 2pi(1,2r)²)/(2pi·1,2r) = 1,3r. Assim, a razão entre os volumes é (pi·(1,2r)²·1,3r)/(pir²·2r) = 0,936, ou seja, o novo volume corresponde a 93,6% do inicial e diminui 6,4%.
O aluno supõe que todas as dimensões crescem 20%, então o volume cresce 1,2^3 = 1,728, ou 72,8%. Isso ignora a condição de área total constante, que obriga a altura a diminuir.
O aluno provavelmente aplicou corretamente o aumento do raio ao quadrado (1,44) mas considerou uma redução de altura pela metade, chegando a 0,72 do volume original. A altura real calculada é 1,3r, não r.
Raio-X da questão
Área total fixa de um cilindro e variação do volume.
Relacionar área tota
Área lateral e área das bases de um cilindro. · Proporcionalidade e cálculo de variação percentual.
Fórmulas da área total e do volume do cilindro.
Aumentar o raio em 20% e supor que a altura permanece igual.
Projeto de recipient
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