Uma equipe de conservação de um aquário cilíndrico planeja reformar um tanque sem alterar o formato de suas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma equipe de conservação de um aquário cilíndrico planeja reformar um tanque sem alterar o formato de suas bases circulares. No projeto, o raio da base será aumentado em 20%, enquanto a altura será reduzida em 30%. O volume inicial é calculado pela fórmula V = pi r^2 h. Em relação ao volume inicial, qual será a consequência conjunta dessas alterações nas dimensões do tanque?
- A) O volume aumentará 14%, pois o aumento da área da base supera a redução da altura.
- B) O volume aumentará 87,2%, pois o raio maior e a altura modificada ampliam o volume.
- C) O volume diminuirá 13,2%, pois o fator da área da base é 1,24 e o da altura é 0,7.
- D) O volume aumentará 0,8%, pois o fator de variação é 1,2^2 × 0,7 = 1,008.
- E) O volume aumentará 20,96%, pois o aumento do raio afeta três dimensões do tanque.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- O volume inicial é V = pi r^2 h. Como o raio aumenta 20%, o novo raio é r' = 1,2 r. Como o volume depende de r^2, o fator de variação da área da base é (1,2)^2 = 1,44, e não 1,2. Passo 2: A altura é reduzida em 30%, então a nova altura é h' = 0,7 h. Passo 3: O novo volume é V' = pi (1,2 r)^2 (0,7 h) = pi r^2 h × 1,44 × 0,7 = 1,008 × V. Passo 4: Como 1,008 é maior que 1, o volume aumenta 0,8% em relação ao inicial. Passo 5: A alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A calcula o aumento de 14% por uma subtração (1,44 - 0,30), que não corresponde ao efeito multiplicativo da redução da altura. B usa 1,3 no lugar de 0,7, tratando a redução como se fosse um aumento de 30%. C erra o fator da área, pois (1,2)^2 é 1,44 e não 1,24, e além disso o volume não diminui. E atribui ao raio um efeito em três dimensões, mas o raio entra na fórmula apenas elevado ao quadrado, por isso o aumento não chega a 20,96%.
💡 Dica: Multiplique o fator da área da base pelo fator da altura e compare com 1.
Alternativa por alternativa
Subtraiu a redução de 30% do fator quadrático do raio (1,44 - 0,30 = 1,14) em vez de multiplicar a altura por 0,7. Trata as variações como se fossem somadas, não compostas.
Por que engana: Somar os percentuais ou aplicar o aumento do raio apenas uma vez, sem elevá-lo ao quadrado.
Interpretou a redução de 30% da altura como um aumento de 30% (fator 1,3), ignorando a palavra 'reduzida' do enunciado.
Calculou erroneamente (1,2)^2 como 1,24, quando o correto é 1,44, e concluiu que o volume diminui. Também errou o sentido final da variação.
O volume do cilindro é proporcional ao quadrado do raio e à altura. Assim, o aumento de 20% no raio multiplica o volume por 1,44, enquanto a redução de 30% na altura o multiplica por 0,70; o produto é 1,008, isto é, um aumento de 0,8%.
Acredita que o raio afeta o volume em três dimensões, como se fosse um fator cúbico, e não apenas elevado ao quadrado na área da base. Não percebeu que a altura é a única outra dimensão alterada.
Raio-X da questão
Variação multiplicativa do volume do cilindro.
Calcular a variação
Fórmula do volume do cilindro. · Conversão de aumentos e reduções percentuais em fatores multiplicativos.
Percentuais sucessivos e volume do cilindro.
Somar os percentuais ou aplicar o aumento do raio apenas uma vez, sem elevá-lo ao quadrado.
Reforma hipotética d
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