Uma empresa de manutenção marítima aplica uma camada protetora em boias esféricas. Para um novo modelo, o raio…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma empresa de manutenção marítima aplica uma camada protetora em boias esféricas. Para um novo modelo, o raio da boia será o dobro do raio do modelo anterior. A camada cobre toda a superfície externa, e a quantidade de material usada é proporcional à área coberta. Considerando que a área superficial de uma esfera é dada por A = 4 pi r^2, qual será a consequência da duplicação do raio para a área externa que recebe a camada protetora?
- A) A área superficial ficará quatro vezes maior.
- B) A área superficial ficará igual à anterior.
- C) A área superficial ficará dezesseis vezes maior.
- D) A área superficial ficará oito vezes maior.
- E) A área superficial ficará duas vezes maior.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A área da esfera é A = 4 pi r^2, portanto depende do quadrado do raio.
- Ao dobrar o raio, a nova área é 4 pi (2r)^2 = 4 pi · 4r^2, ou seja, quatro vezes a área original.
- Portanto, a alternativa A está correta. B diz que a área não muda; C eleva incorretamente o fator de escala à quarta potência; D confunde a escala da área com a do volume, que cresce oito vezes; E aplica à área o mesmo fator de duplicação do raio.
💡 Dica: Substitua o novo raio por 2r em A = 4pir² e compare com a área original.
Alternativa por alternativa
Como o raio aparece elevado ao quadrado na fórmula, duplicá-lo multiplica a área por 2^2, isto é, por 4.
O aluno pode pensar que aumentar o raio não altera a área ou desconsiderar que o raio aparece na fórmula ao quadrado.
O aluno pode elevar o fator de duplicação à quarta potência, embora a fórmula da área dependa do raio ao quadrado, não à quarta potência.
O aluno provavelmente confunde a área superficial com o volume: a duplicação do raio faz o volume aumentar oito vezes, mas a área aumenta quatro vezes.
O aluno pode supor que a área cresce na mesma proporção que o raio, sem considerar o expoente 2 na fórmula.
Por que engana: Afirmar que a área dobra junto com o raio, ignorando que o raio está ao quadrado.
Raio-X da questão
Variação da área da esfera com o quadrado do raio.
fixacao
Potenciação e quadrado de um número. · Substituição de valores em uma fórmula algébrica.
Área da superfície de uma esfera.
Afirmar que a área dobra junto com o raio, ignorando que o raio está ao quadrado.
cotidiano
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