Uma galeria vai organizar uma sequência de seis obras distintas entre nove disponíveis. Duas delas…

Questão

Uma galeria vai organizar uma sequência de seis obras distintas entre nove disponíveis. Duas delas, identificadas como A e B, não podem ficar em posições consecutivas. Um funcionário afirma que há 52.080 sequências possíveis: calculou 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 sequências sem restrição e subtraiu 2 × 5 × 7 × 6 × 5 × 4 sequências em que A e B ficam consecutivas. A afirmação do funcionário está correta? Analise a contagem apresentada e indique o número correto de sequências permitidas, justificando a conclusão.

1. A) Não. Há 50.400 sequências permitidas: partindo das 60.480 sem restrição, excluem-se 10.080 em que A e B ficam consecutivas, considerando seis posições possíveis para o bloco e as duas ordens do par, além das maneiras de ordenar as outras obras.
2. B) Não. O total permitido é 54.180: das 60.480 sequências sem restrição, retiram-se 6.300 com A e B consecutivas, considerando os blocos de posições e as duas ordens do par, mas contando somente três escolhas sucessivas para as demais obras.
3. C) Não. A restrição deixa 36.960 sequências: calcula-se o total sem restrição usando cinco escolhas sucessivas para preencher a sequência e, desse total, retiram-se 8.400 casos em que A e B ficam consecutivas, considerando cinco posições para o par e suas duas ordens.
4. D) Não. Há 56.280 sequências permitidas: das sequências sem restrição, devem ser excluídas 4.200 em que A e B ficam consecutivas, pois se considera apenas uma ordem possível para o par em cada bloco de posições.
5. E) Sim. Há 52.080 sequências permitidas: das 60.480 sequências sem restrição, devem ser excluídas 8.400 em que A e B ficam consecutivas, pois o par pode ocupar cinco posições e aparecer em duas ordens, enquanto as outras quatro obras são escolhidas e ordenadas entre as sete restantes.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Sem restrições, escolhem-se e ordenam-se seis das nove obras: 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 60.480 sequências.
2. Para contar as sequências proibidas, A e B devem formar um bloco. Esse bloco pode começar em cinco posições da sequência de seis obras e aparecer em duas ordens: AB ou BA.
3. As outras quatro posições são preenchidas com quatro das sete obras restantes, em ordem: 7 × 6 × 5 × 4 = 840 maneiras. Assim, há 5 × 2 × 840 = 8.400 sequências proibidas.
4. Subtraindo: 60.480 − 8.400 = 52.080 sequências permitidas. Portanto, a afirmação do funcionário está correta e a alternativa E é a certa. A alternativa A considera seis posições para o bloco, embora só existam cinco; B conta apenas três obras restantes; C usa uma contagem incorreta do total e dos casos consecutivos; D desconsidera uma das ordens possíveis do par.

💡 Dica: Conte todas as sequências sem restrição e subtraia os casos em que AB forma um bloco, nas duas ordens.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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