Uma pequena fábrica inspeciona lotes de 200 peças produzidas por uma máquina. Antes de uma recalibração, um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma pequena fábrica inspeciona lotes de 200 peças produzidas por uma máquina. Antes de uma recalibração, um lote continha 12 peças defeituosas. Após a intervenção, um lote do mesmo tamanho continha 5 defeituosas. Para verificar cada lote, a equipe seleciona aleatoriamente 4 peças, sem reposição. A manutenção não altera o tamanho do lote, mas reduz a quantidade de peças defeituosas. Considerando que cada amostra é retirada de um único lote, qual é a redução aproximada, em pontos percentuais, da probabilidade de encontrar pelo menos uma peça defeituosa após a recalibração?
- A) A probabilidade diminui aproximadamente 12,4 pontos percentuais, de 22,1% para 9,7%.
- B) A probabilidade diminui aproximadamente 3,5 pontos percentuais.
- C) A probabilidade diminui aproximadamente 12,3 pontos percentuais.
- D) A probabilidade diminui aproximadamente 12,0 pontos percentuais.
- E) A probabilidade diminui aproximadamente 14 pontos percentuais.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. Como as 4 peças são retiradas sem reposição de um lote de 200, usa-se a hipergeométrica. Calcula-se primeiro a probabilidade de não encontrar nenhuma defeituosa e depois o complemento: P(pelo menos uma) = 1 - P(nenhuma). Passo 2: Antes da recalibração, há 12 defeituosas e 188 boas. P(nenhuma) = (188/200) x (187/199) x (186/198) x (185/197), que é aproximadamente 0,7791. Logo P(pelo menos uma) = 1 - 0,7791 = 0,2209, ou seja, cerca de 22,1%. Passo 3: Após a recalibração, há 5 defeituosas e 195 boas. P(nenhuma) = (195/200) x (194/199) x (193/198) x (192/197), que é aproximadamente 0,9030. Logo P(pelo menos uma) = 1 - 0,9030 = 0,0970, ou seja, cerca de 9,7%. Passo 4: A redução é a diferença entre as duas probabilidades, em pontos percentuais: 22,09 - 9,70 = 12,38, que arredondado é 12,4 pontos percentuais. Passo 5: A alternativa A está correta, pois traz exatamente 22,1% para 9,7% e a redução de 12,4 pontos. A alternativa B está errada porque 3,5 pontos não corresponde à diferença real entre as probabilidades. A alternativa C está errada porque 12,3 é um arredondamento incorreto do valor exato 12,38. A alternativa D está errada porque 12,0 é uma aproximação grosseira que não reproduz o cálculo com precisão. A alternativa E está errada porque 14 pontos supera a redução real de cerca de 12,4 pontos. O gabarito oficial (A) está correto.
💡 Dica: Calcule o complementar: subtraia de 1 a probabilidade de nenhuma peça defeituosa na amostra, em cada lote; depois compare os resultados.
Alternativa por alternativa
Antes da recalibração, a probabilidade é 1 - (188/200 × 187/199 × 186/198 × 185/197), aproximadamente 22,1%. Depois, é 1 - (195/200 × 194/199 × 193/198 × 192/197), aproximadamente 9,7%. A diferença entre os riscos é cerca de 12,4 pontos percentuais.
O aluno provavelmente calculou mal uma das probabilidades, por exemplo usando reposição ou esquecendo que a diferença de defeituosas é grande, e obteve uma redução pequena. Também pode ter tomado a variação de um termo isolado em vez da probabilidade final.
O aluno chegou próximo ao valor correto, mas arredondou ou truncou de forma imprecisa o resultado 12,38, escrevendo 12,3 em vez de 12,4. Isso indica que os cálculos intermediários foram feitos com pouca precisão.
Por que engana: Tratar as retiradas como independentes ou comparar diretamente as quantidades de defeituosas sem calcular a probabilidade de encontrar ao menos uma.
O aluno usou aproximações grosseiras nas frações ou no produto, o que levou a uma redução de 12,0 pontos. Ele entendeu o raciocínio correto, mas perdeu precisão no cálculo.
O aluno pode ter confundido a redução absoluta em pontos percentuais com a redução relativa ou com um cálculo de 12 menos 5 mal interpretado. Assim chegou a um valor inflado de 14 pontos, sem base na diferença real das probabilidades.
Raio-X da questão
Probabilidade de ao menos um defeito em amostra sem reposição
avaliacao
Espaço amostral e probabilidade de eventos · Combinações e amostragem sem reposição
Probabilidade hipergeométrica e evento complementar
Tratar as retiradas como independentes ou comparar diretamente as quantidades de defeituosas sem calcular a probabilidade de encontrar ao menos uma.
Tecnologia e processos de produção
cotidiano
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