Em uma propriedade rural do semiárido brasileiro, um reservatório cilíndrico de captação de água tem raio…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma propriedade rural do semiárido brasileiro, um reservatório cilíndrico de captação de água tem raio interno de 0,5 m e altura de 2 m. Para ampliar a capacidade sem alterar a altura, será construído outro reservatório com raio interno 20% maior. Considere pi = 3,14 e que 1 m³ corresponde a 1.000 L. Qual será o efeito da mudança sobre a capacidade do reservatório?
- A) A capacidade aumentará 20%, passando de 1.570 L para 1.884 L.
- B) A capacidade aumentará 44%, passando de 1.570 L para 2.260,8 L.
- C) A capacidade aumentará 96%, passando de 1.570 L para 3.077,2 L.
- D) A capacidade aumentará 40%, passando de 1.570 L para 2.198 L.
- E) A capacidade aumentará 72,8%, passando de 1.570 L para 2.712,96 L.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calcule o volume do reservatório original. O volume de um cilindro é V = pi x r^2 x h. Com r = 0,5 m e h = 2 m, temos V = 3,14 x 0,25 x 2 = 1,57 m³, ou seja, 1.570 L.
- Calcule o novo raio. Um raio 20% maior é 0,5 x 1,2 = 0,6 m. A altura continua 2 m.
- Calcule o volume do novo reservatório. V = 3,14 x 0,36 x 2 = 2,2608 m³, ou seja, 2.260,8 L.
- Calcule o aumento percentual. A razão entre os volumes é 2.260,8 / 1.570 = 1,44. Logo, a capacidade aumenta 44%. Como o volume depende do quadrado do raio, o efeito não é igual ao aumento do raio: 1,2 elevado a 2 = 1,44.
- Compare com o gabarito. O resultado obtido coincide com a alternativa B, que é o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A afirma que o volume cresce apenas 20%, ignorando que o volume depende do quadrado do raio. C usa um raio de 0,7 m (0,5 + 0,2), o que não corresponde a um aumento de 20%. D soma 20% duas vezes, chegando a 40%, sem respeitar a relação quadrática. E trata o volume como se dependesse do cubo do raio, o que vale para esferas, não para cilindros de altura fixa.
💡 Dica: Compare os volumes usando a razão entre os quadrados dos raios; depois converta de m³ para litros.
Alternativa por alternativa
Assumiu que o volume cresce na mesma proporção do raio, ignorando que a área da base depende de r^2.
Por que engana: Aumentar a capacidade em 20% porque o raio aumentou 20%, sem considerar que o raio está ao quadrado.
O raio novo será 0,6 m. Como o volume do cilindro é pi vezes o quadrado do raio vezes a altura, as capacidades são 1,57 m³ e 2,2608 m³, respectivamente. O aumento de 0,6908 m³ equivale a 44% da capacidade inicial.
Interpretou o aumento de 20% como somar 0,2 m ao raio (0,5 + 0,2 = 0,7 m), o que dá razão 1,96 para o volume.
Somou 20% duas vezes (1 + 2 x 0,2 = 1,4) como se o volume crescesse com o dobro da taxa do raio, sem elevar ao quadrado.
Usou 1,2 elevado a 3 (1,728), tratando o volume como se dependesse do cubo do raio, como em uma esfera.
Raio-X da questão
Volume do cilindro e efeito da variação do raio
fixacao
Volume do cilindro: V = pir²h · Porcentagens e conversão de m³ para litros
Variação percentual de grandezas ao quadrado
Aumentar a capacidade em 20% porque o raio aumentou 20%, sem considerar que o raio está ao quadrado.
Uso e captação de água no semiárido
cotidiano
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