Uma propriedade rural armazena água da chuva em uma cisterna cilíndrica de raio interno igual a 1,5 m e altura…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma propriedade rural armazena água da chuva em uma cisterna cilíndrica de raio interno igual a 1,5 m e altura igual a 2 m. Para ampliar a reserva sem alterar a altura, o projeto prevê aumentar o raio interno em 20%. O volume de um cilindro é calculado por V = pi vezes o raio ao quadrado vezes a altura. Considerando a mudança prevista e mantendo a altura da cisterna, qual será o efeito sobre sua capacidade de armazenamento?
- A) A capacidade aumentará 44%, passando de 4,5 pi m³ para 6,48 pi m³.
- B) A capacidade aumentará 40%, passando de 4,5 pi m³ para 6,3 pi m³.
- C) A capacidade aumentará 20%, passando de 4,5 pi m³ para 5,4 pi m³.
- D) A capacidade aumentará 120%, passando de 4,5 pi m³ para 9,9 pi m³.
- E) A capacidade aumentará 73%, passando de 4,5 pi m³ para 7,776 pi m³.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule o volume atual. O raio é 1,5 m e a altura é 2 m. V = pi * 1,5^2 * 2 = pi * 2,25 * 2 = 4,5 pi m³.
- Calcule o novo raio. Aumentar 20% significa multiplicar por 1,2: 1,5 * 1,2 = 1,8 m.
- Calcule o novo volume, mantendo a altura de 2 m. V' = pi * 1,8^2 * 2 = pi * 3,24 * 2 = 6,48 pi m³.
- Calcule o aumento percentual. A razão entre os volumes é 6,48 pi / 4,5 pi = 1,44, ou seja, aumento de 44%. Por isso a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. B supõe que o volume cresce na mesma proporção do raio, o que ignora que o raio entra elevado ao quadrado. C repete o erro de B, mantendo o aumento de 20% sobre o volume. D soma 120% por engano, algo que não corresponde a nenhuma multiplicação correta do volume. E aplica o fator 1,2 três vezes, como se o volume crescesse com o cubo do raio, o que não vale para um cilindro, já que a altura permanece fixa.
💡 Dica: Aumente o raio em 20% e compare os volumes calculados antes e depois.
Alternativa por alternativa
O novo raio será 1,2 vezes o original. Como o raio aparece elevado ao quadrado no cálculo do volume, o novo volume será 1,2² = 1,44 vezes o inicial, ou seja, haverá aumento de 44%.
O aluno acredita que o volume aumenta na mesma proporção que o raio, então calcula 2 * 20% = 40% e obtém 4,5 * 1,4 = 6,3 pi m³. Ele não percebe que o raio aparece elevado ao quadrado na fórmula.
O aluno aplica o aumento de 20% diretamente sobre o volume, como se a capacidade crescesse apenas na mesma porcentagem do raio, e obtém 4,5 * 1,2 = 5,4 pi m³. Ele desconsidera que o volume depende do quadrado do raio.
Por que engana: Aumentar o volume em 20% porque o raio aumentou 20%.
O aluno faz a conta de forma errada, transformando o aumento em um fator 2,2 (9,9 / 4,5), o que não corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo. Ele não consegue relacionar o aumento de 20% no raio com o novo volume.
O aluno aplica o fator 1,2 três vezes (1,2^3 = 1,728), como se o volume de um sólido crescesse com o cubo da dimensão linear, confundindo cilindro com cubo. Ele ignora que a altura se mantém constante.
Raio-X da questão
Volume do cilindro e efeito da variação do raio.
fixacao
Fórmula do volume do cilindro. · Cálculo de porcentagens e potências.
Variação percentual em grandezas ao quadrado.
Aumentar o volume em 20% porque o raio aumentou 20%.
Uso e armazenamento de água da chuva.
cotidiano
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