Uma artesã está planejando uma moldura retangular para uma peça de mosaico. O projeto exige perímetro de 38 cm…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma artesã está planejando uma moldura retangular para uma peça de mosaico. O projeto exige perímetro de 38 cm e área de 84 cm². Para verificar se o projeto é possível, um estudante chamou de x uma das dimensões e escreveu x(19 - x) = 84, pois a soma das dimensões deve ser 19 cm. Ao resolver, encontrou x = 7 ou x = 12 e concluiu que há duas molduras diferentes, portanto o projeto não determina uma única moldura. Com base nos dados do projeto e na resolução apresentada, a conclusão do estudante está correta? Analise a equação e interprete suas soluções no contexto.
- A) A conclusão está incorreta: há uma única moldura, com lados de 6 cm e 13 cm, pois essas dimensões somam 19 cm.
- B) A conclusão está incorreta: há uma única moldura, com lados de 8 cm e 11 cm, pois essas dimensões somam 19 cm.
- C) A conclusão está correta: o projeto determina uma única moldura, com lados de 5 cm e 14 cm, que somam 19 cm.
- D) A conclusão está incorreta: as raízes 7 e 12 representam as mesmas duas dimensões, apenas com a ordem trocada. A moldura tem lados de 7 cm e 12 cm, atende ao perímetro de 38 cm e à área de 84 cm².
- E) A conclusão está incorreta: há uma única moldura, com lados de 4 cm e 15 cm, pois essas dimensões somam 19 cm.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Os dados do projeto são perímetro de 38 cm e área de 84 cm². Em um retângulo, o perímetro é 2(x + y), então x + y = 19. Se x é um lado, o outro é 19 - x, e a área é x(19 - x) = 84. Essa modelagem do estudante está correta.
- Desenvolvendo a equação: 19x - x^2 = 84, ou seja, x^2 - 19x + 84 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é 361 - 336 = 25, e as raízes são x = (19 ± 5)/2, isto é, x = 12 ou x = 7.
- Interpretando no contexto: quando x = 7, o outro lado é 19 - 7 = 12. Quando x = 12, o outro lado é 19 - 12 = 7. Os dois valores de x dão o mesmo par de dimensões, 7 cm e 12 cm, apenas com a ordem trocada. Ou seja, existe uma única moldura possível.
- Verificação: 7 + 12 = 19, logo o perímetro é 2 × 19 = 38 cm; 7 × 12 = 84, logo a área é 84 cm². Portanto, a conclusão do estudante está incorreta.
- Por que as outras alternativas estão erradas: A) 6 × 13 = 78, não 84. B) 8 × 11 = 88, não 84. C) afirma corretamente que a moldura é única, mas com lados 5 e 14, cujo produto é 70, não 84. E) 4 × 15 = 60, não 84.
💡 Dica: Expanda a equação, encontre as raízes e verifique se elas descrevem molduras distintas ou as mesmas dimensões em ordem trocada.
Alternativa por alternativa
Acredita que basta a soma dos lados ser 19 cm para a moldura estar correta, sem conferir a área de 84 cm². Assim, escolhe 6 e 13 apenas por somarem 19.
Ajusta a soma para 19 cm, mas calcula o produto 8 × 11 = 88 em vez de 84, e não confere a área do projeto.
Por que engana: Interpretar as duas raízes como molduras diferentes, sem considerar que representam as dimensões em ordem trocada.
Confunde a unicidade da solução: escolhe 5 e 14 por somarem 19 e conclui que a equação tem apenas uma solução, ignorando que x = 7 e x = 12 já satisfazem o problema.
Do perímetro, a soma dos lados diferentes é 19 cm. A equação x(19 - x) = 84 resulta em x² - 19x + 84 = 0, que fatorada é (x - 7)(x - 12) = 0. Como x representa uma das dimensões, escolher 7 ou 12 apenas troca a ordem dos lados; não são duas molduras diferentes.
Verifica apenas a soma dos lados (4 + 15 = 19) e não o produto, que deveria dar a área de 84 cm²; 4 × 15 = 60.
Raio-X da questão
Equação do 2º grau e interpretação de raízes no contexto.
avaliacao
Perímetro e área de retângulos. · Resolução de equações do 2º grau por fatoração.
Fatoração de trinômios quadráticos.
Interpretar as duas raízes como molduras diferentes, sem considerar que representam as dimensões em ordem trocada.
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- Uma pessoa vai encomendar uma placa retangular para uma bancada. Ela planeja que a largura seja x + 2 centímetros e o…
- Uma oficina de marcenaria produz uma placa retangular cujos lados medem x + 2 e x + 4 centímetros. A área da placa é 35…
- Uma oficina de vitrais está produzindo uma peça triangular cujos lados medem 13 cm, 14 cm e 15 cm. Ao conferir o…
- Em um laboratório de tecnologia, uma equipe está montando um painel retangular de sensores para testar a captação de…
- Uma equipe de paisagismo planeja um canteiro retangular com área de 180 m². O comprimento deverá ser 3 m maior que a…
- — Por que duas molduras feitas com o mesmo comprimento de varas ficam com áreas diferentes? — perguntou Dani durante a…
Todas as questões de Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog