Uma pessoa vai encomendar uma placa retangular para uma bancada. Ela planeja que a largura seja x + 2…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma pessoa vai encomendar uma placa retangular para uma bancada. Ela planeja que a largura seja x + 2 centímetros e o comprimento seja 2x + 1 centímetros, com área de 77 centímetros quadrados. Ao resolver a equação da área, Rafa obtém x = 5 e x = -7,5 e afirma que as duas soluções podem representar o planejamento, pois ambas satisfazem a equação algébrica. Qual avaliação da afirmação de Rafa está correta?
- A) A afirmação é incorreta: somente x = 5 pode representar o planejamento, com largura de 7 cm e comprimento de 9 cm.
- B) A afirmação é incorreta: somente x = -7,5 representa o planejamento, com largura de -5,5 cm e comprimento de -16 cm.
- C) A afirmação é correta: os dois valores satisfazem a equação da área e, por isso, podem representar o planejamento da placa.
- D) A afirmação é incorreta: nenhum dos valores representa o planejamento, pois, para x = 5, a largura da placa seria 6 cm.
- E) A afirmação é incorreta: embora os dois valores satisfaçam a equação, x = -7,5 produz dimensões negativas; portanto, somente x = 5 é admissível, resultando em largura de 7 cm e comprimento de 11 cm.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Montar a equação da área. Largura (x + 2) vezes comprimento (2x + 1) igual a 77, ou seja, (x + 2)(2x + 1) = 77. Passo 2: Desenvolver a multiplicação: 2x^2 + x + 4x + 2 = 77, que resulta em 2x^2 + 5x - 75 = 0. Passo 3: Resolver pela fórmula de Bhaskara, com a = 2, b = 5, c = -75. O discriminante é 5^2 - 4(2)(-75) = 25 + 600 = 625, cuja raiz quadrada é 25. Assim x = (-5 + 25)/4 = 5 ou x = (-5 - 25)/4 = -7,5. Passo 4: Verificar o contexto. Uma medida de placa não pode ser negativa. Para x = -7,5, a largura seria -5,5 cm e o comprimento seria -14 cm, o que não tem sentido físico. Para x = 5, a largura é 7 cm e o comprimento é 11 cm, com área 7 x 11 = 77 cm^2, que confere. Passo 5: Conclusão. Só x = 5 é admissível, e a afirmação de Rafa está incorreta. A alternativa E está certa e coincide com o gabarito oficial. Alternativa A: está errada porque o comprimento para x = 5 é 2(5) + 1 = 11, e não 9. Alternativa B: está errada porque aceita o valor negativo como planejamento e ainda calcula o comprimento como -16, quando seria -14. Alternativa C: está errada porque satisfazer a equação algébrica não basta; é preciso que as dimensões façam sentido. Alternativa D: está errada porque a largura para x = 5 é 5 + 2 = 7 cm, e não 6 cm.
💡 Dica: Substitua cada raiz nas expressões das dimensões e descarte medidas negativas.
Alternativa por alternativa
Calculou o comprimento como 2x - 1 (2 vezes 5 menos 1 = 9), em vez de 2x + 1, ao substituir o valor de x na expressão dada.
Acredita que qualquer raiz da equação serve como medida, sem verificar se a solução faz sentido para uma dimensão física, e ainda erra o cálculo do comprimento (2 vezes -7,5 + 1 = -14, não -16).
Entende que, se um valor satisfaz a equação algébrica, ele automaticamente representa a situação real, ignorando que medidas de comprimento precisam ser positivas.
Por que engana: Aceitar as duas raízes por satisfazerem a equação, sem verificar se produzem dimensões positivas.
Calculou a largura como x + 1 em vez de x + 2 (5 + 1 = 6), por descuido na substituição do valor de x na expressão da largura.
A equação é (x + 2)(2x + 1) = 77, ou seja, 2x² + 5x - 75 = 0, que tem raízes 5 e -7,5. Como x representa uma dimensão variável, a raiz negativa gera medidas inválidas; para x = 5, as dimensões são positivas e seu produto é 77.
Raio-X da questão
Validade contextual das raízes de uma equação.
Distinguir raízes al
Substituição de valores em expressões algébricas. · Cálculo da área de um retângulo.
Modelagem por área de retângulo e equação quadrática.
Aceitar as duas raízes por satisfazerem a equação, sem verificar se produzem dimensões positivas.
Encomenda de uma pla
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