Uma equipe de paisagismo planeja um canteiro retangular com área de 180 m². O comprimento deverá ser 3 m maior…

Questão

Uma equipe de paisagismo planeja um canteiro retangular com área de 180 m². O comprimento deverá ser 3 m maior que a largura. Durante a conferência do projeto, uma integrante afirma: “Se x representa a largura, temos x(x + 3) = 180. Fatorando, obtemos (x + 15)(x - 12) = 0; portanto, a largura é 15 m”. Com base nas condições do projeto, a afirmação da integrante está correta? Indique a largura e o comprimento que atendem ao problema e explique o que deve ser corrigido na conclusão.

1. A) A fatoração está correta e as raízes são 15 e -12. Como a largura não pode ser negativa, conclui-se que ela mede 15 m e o comprimento, 18 m.
2. B) A fatoração está correta e as raízes são 9 e -20. Como a largura não pode ser negativa, conclui-se que ela mede 20 m e o comprimento, 23 m.
3. C) A fatoração está correta e as raízes são 18 e -10. Como a largura não pode ser negativa, conclui-se que ela mede 10 m e o comprimento, 13 m.
4. D) A fatoração está correta, mas a conclusão não: as raízes são 12 e -15, e uma medida não pode ser negativa. Assim, a largura é 12 m e o comprimento é 15 m.
5. E) A fatoração está correta e as raízes são 10 e -18. Como a largura não pode ser negativa, conclui-se que ela mede 18 m e o comprimento, 21 m.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Resolvi a questão por conta própria. Chamando a largura de x, o comprimento é x + 3, e a área é x(x + 3) = 180. Passando 180 para o primeiro membro, obtemos x^2 + 3x - 180 = 0.
2. Verifiquei a fatoração da integrante. Desenvolvendo (x + 15)(x - 12) obtemos x^2 - 12x + 15x - 180 = x^2 + 3x - 180, que está correta.
3. Encontrei as raízes. Pelo produto (x + 15)(x - 12) = 0, temos x + 15 = 0, que dá x = -15, ou x - 12 = 0, que dá x = 12. Ou seja, as raízes são 12 e -15, e não 15 e -12.
4. Onde está o erro da integrante. Ela escreveu a raiz do fator x + 15 como +15, quando o correto é -15. Essa troca de sinal levou à largura de 15 m, o que está errado.
5. Conclusão. Como a largura não pode ser negativa, descartamos x = -15 e ficamos com x = 12 m. O comprimento é x + 3 = 15 m. Conferindo: 12 x 15 = 180 m², que atende ao projeto.
6. Por que as outras estão erradas. A afirma que as raízes são 15 e -12, o que troca os sinais das raízes corretas. B afirma raízes 9 e -20, que não têm produto -180 com soma 3. C afirma raízes 18 e -10, cujo produto é -180, mas a soma é 8 e não 3. E afirma raízes 10 e -18, cujo produto é -180, mas a soma é -8 e não 3.
7. Portanto, a afirmação da integrante não está correta na conclusão. A fatoração está certa, mas a largura correta é 12 m e o comprimento é 15 m, como indicado na alternativa D, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Verifique a fatoração por multiplicação e considere apenas a raiz compatível com uma largura.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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