Em uma instalação de iluminação artística, pontos A e B delimitam dois arcos de uma circunferência…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma instalação de iluminação artística, pontos A e B delimitam dois arcos de uma circunferência. Inicialmente, o arco menor AB mede 128°. Dois sensores estão na circunferência: Q está no arco maior AB e R está no arco menor AB. Após um ajuste, B se desloca, e o arco menor AB passa a medir 148°, sem que Q ou R mudem de lado em relação aos arcos. Cada sensor registra o ângulo inscrito formado pelas retas que o ligam a A e a B. Com base nessa situação, qual consequência o ajuste produz nos ângulos registrados pelos sensores Q e R?
- A) O ângulo de Q passa de 116° para 106°, enquanto o de R passa de 64° para 74°; variam 10° em sentidos opostos.
- B) O ângulo de Q passa de 64° para 84°, enquanto o de R passa de 116° para 96°; variam 20° em sentidos opostos.
- C) O ângulo de Q aumenta de 64° para 74°, enquanto o de R diminui de 116° para 106°; portanto, ambos variam 10° em sentidos opostos.
- D) O ângulo de Q passa de 74° para 64°, enquanto o de R passa de 106° para 116°; variam 10° em sentidos opostos.
- E) O ângulo de Q passa de 128° para 148°, enquanto o de R passa de 232° para 212°; variam em sentidos opostos.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- O arco menor AB mede 128°, então o arco maior mede 360° - 128° = 232°. Passo 2: Um ângulo inscrito mede a metade do arco que ele intercepta, isto é, o arco compreendido entre seus lados e que não contém o vértice. Passo 3: O sensor Q está no arco maior, logo o ângulo AQB intercepta o arco menor: 128° / 2 = 64°. Passo 4: O sensor R está no arco menor, logo o ângulo ARB intercepta o arco maior: 232° / 2 = 116°. Passo 5: Após o ajuste, o arco menor passa a 148° e o maior a 212°. Assim, Q passa a registrar 148° / 2 = 74° e R passa a registrar 212° / 2 = 106°. Passo 6: Comparando os valores, Q aumenta de 64° para 74° (variação de +10°) e R diminui de 116° para 106° (variação de -10°). As variações têm o mesmo módulo e sentidos opostos, o que torna a alternativa C correta. Passo 7: A alternativa A inverte os valores de Q e R, atribuindo a Q o ângulo de 116° que pertence ao sensor do arco menor. A alternativa B esquece de dividir o arco por 2 e transfere a variação de 20° do arco diretamente aos ângulos. A alternativa D inverte a ordem antes e depois do ajuste, então o sentido das variações fica trocado. A alternativa E iguala o ângulo inscrito à medida do arco, confundindo-o com o ângulo central.
💡 Dica: O ângulo inscrito mede metade do arco interceptado; identifique qual arco cada sensor intercepta.
Alternativa por alternativa
O aluno atribui a Q o ângulo de 116°, que corresponde ao sensor do arco menor, e a R o ângulo de 64°, ou seja, troca os arcos que cada sensor intercepta. A variação de 10° em sentidos opostos aparece corretamente, mas com valores de partida invertidos.
Por que engana: Associar cada sensor ao arco em que está, em vez de ao arco oposto que intercepta.
O aluno transfere diretamente a variação de 20° do arco para os ângulos inscritos, sem dividir por 2. Por isso obtém 64° + 20° = 84° e 116° - 20° = 96°.
Q intercepta o arco menor AB, então seu ângulo mede a metade desse arco: passa de 128°/2 = 64° para 148°/2 = 74°. R intercepta o arco maior, cuja medida passa de 232° para 212°; assim, seu ângulo passa de 116° para 106°.
O aluno inverte o sentido das variações, tratando os valores finais como iniciais e vice-versa. Assim, conclui que o ângulo de Q diminui e o de R aumenta, quando na verdade ocorre o contrário.
O aluno confunde o ângulo inscrito com o ângulo central, supondo que o ângulo registrado é igual à medida do arco (128° e 232°). Além disso, não quantifica a variação, apenas afirma que os sentidos são opostos.
Raio-X da questão
Relação entre ângulo inscrito e arco interceptado
fixacao
Medida de arcos de uma circunferência · Identificação do arco interceptado por um ângulo inscrito
Ângulos inscritos em arcos complementares da circunferência
Associar cada sensor ao arco em que está, em vez de ao arco oposto que intercepta.
cotidiano
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