Em um equipamento de monitoramento de uma pista circular, dois pontos fixos A e B delimitam o setor observado…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um equipamento de monitoramento de uma pista circular, dois pontos fixos A e B delimitam o setor observado. O ângulo central AOB mede inicialmente 124 graus e, após um ajuste, passa a medir 152 graus. Um sensor instalado sobre o arco menor AB mede o ângulo inscrito ASB, que intercepta o arco maior AB. Considere que o sensor permanece no arco menor durante todo o ajuste. Com base nas relações entre ângulos centrais, arcos e ângulos inscritos, qual consequência o ajuste produz na leitura do sensor?
- A) A leitura aumenta 28 graus, passando de 124 graus para 152 graus.
- B) A leitura diminui 7 graus, passando de 59 graus para 52 graus.
- C) A leitura diminui 14 graus, passando de 118 graus para 104 graus.
- D) A leitura diminui 28 graus, passando de 236 graus para 208 graus.
- E) A leitura aumenta 14 graus, passando de 62 graus para 76 graus.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- O ângulo central AOB mede 124 graus, então o arco menor AB mede 124 graus. Como a circunferência tem 360 graus, o arco maior AB mede 360 - 124 = 236 graus. Passo 2: O sensor está no arco menor, e o ângulo inscrito ASB intercepta o arco maior. Pela relação entre ângulo inscrito e arco, ASB = 236 / 2 = 118 graus. Passo 3: Após o ajuste, o ângulo central passa a 152 graus. O arco menor mede 152 graus e o arco maior mede 360 - 152 = 208 graus. Passo 4: Novo ângulo inscrito ASB = 208 / 2 = 104 graus. Passo 5: A variação é 104 - 118 = -14, ou seja, a leitura do sensor diminui 14 graus, passando de 118 para 104 graus. Isso confirma a alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A confunde a leitura do sensor com o próprio ângulo central, que de fato aumenta 28 graus, mas o sensor mede o ângulo inscrito. B divide duas vezes por 2 e obtém 59 e 52, um cálculo que não corresponde à relação do ângulo inscrito. D usa as medidas dos arcos maiores (236 e 208) como se fossem a leitura do sensor. E usa a metade do ângulo central do arco menor (62 e 76), ignorando que o sensor intercepta o arco maior.
💡 Dica: O ângulo inscrito mede metade do arco maior que intercepta; compare as leituras antes e depois do ajuste.
Alternativa por alternativa
O aluno tomou o ângulo central AOB como sendo a leitura do sensor, pois ele é o único ângulo diretamente ligado aos pontos A e B citados no ajuste. Assim, concluiu que a leitura aumenta 28 graus.
O aluno aplicou a metade duas vezes, dividindo 118 e 104 por 2 novamente, como se o ângulo inscrito fosse metade de outro ângulo já obtido pela metade. Ele não reconheceu que o ângulo inscrito já é a metade do arco maior.
O arco maior AB mede inicialmente 360 - 124 = 236 graus, então o ângulo inscrito mede 236/2 = 118 graus. Após o ajuste, o arco maior mede 360 - 152 = 208 graus, e a leitura passa a 208/2 = 104 graus. Portanto, diminui 14 graus.
O aluno tomou as medidas dos arcos (236 e 208 graus) como sendo a leitura do sensor, confundindo arco com ângulo inscrito. Ele não aplicou a divisão por 2 que relaciona o ângulo inscrito ao arco que ele intercepta.
O aluno considerou que o sensor mede metade do ângulo central do arco menor (124 e 152), ignorando que o ângulo inscrito intercepta o arco maior. Além disso, chegou a um aumento, quando o arco maior diminui com o ajuste.
Por que engana: Usar metade do ângulo central diretamente, sem perceber que o sensor intercepta o arco maior.
Raio-X da questão
Relação entre ângulo central, arco e ângulo inscrito.
fixacao
Relação entre ângulo central e medida do arco correspondente. · Cálculo do arco maior como complemento a 360°.
Medida do arco maior interceptado pelo ângulo inscrito.
Usar metade do ângulo central diretamente, sem perceber que o sensor intercepta o arco maior.
cotidiano
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