Em um projeto de iluminação de um jardim circular, quatro sensores foram instalados nos pontos A, B, C e D…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um projeto de iluminação de um jardim circular, quatro sensores foram instalados nos pontos A, B, C e D, nessa ordem ao longo da borda. A tabela registra as medidas dos arcos consecutivos entre esses pontos: arco AB = 72°, arco BC = 116°, arco CD = 68° e arco DA = 104°. No centro O do jardim, o ângulo central AÔB mede o mesmo que o arco AB. Observe o esquema da circunferência com os pontos na ordem indicada. Com base nos dados, qual é a diferença, em graus, entre a medida do ângulo inscrito BÂD e a do ângulo central AÔB?
- A) A diferença é de 56° entre as medidas dos ângulos indicados.
- B) A diferença é de 16° entre as medidas dos ângulos indicados.
- C) A diferença é de 14° entre as medidas dos ângulos indicados.
- D) A diferença é de 20°: o ângulo BÂD mede 92° e o ângulo AÔB mede 72°.
- E) A diferença é de 112° entre as medidas dos ângulos indicados.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Confirme os arcos. A soma dos arcos consecutivos é 72 + 116 + 68 + 104 = 360 graus, o que corresponde à circunferência completa. Passo 2: Calcule o ângulo central AÔB. Pela questão, ele tem a mesma medida do arco AB, ou seja, AÔB = 72 graus. Passo 3: Identifique o arco que o ângulo inscrito BÂD determina. O vértice do ângulo inscrito é A, e o ângulo BÂD enxerga o arco BD que não contém A, formado pelos arcos BC e CD. Esse arco mede 116 + 68 = 184 graus. Passo 4: Aplique a propriedade do ângulo inscrito, que mede a metade do arco que ele determina. Assim, BÂD = 184 / 2 = 92 graus. Passo 5: Calcule a diferença pedida: 92 - 72 = 20 graus. Por isso a alternativa D está correta. Passo 6: Verifique as demais. A (56 graus) está errada porque não corresponde a nenhuma combinação correta de arcos e metades. B (16 graus) está errada porque usaria o arco BAD, que contém o vértice A, e não o arco oposto. C (14 graus) está errada porque o valor de BÂD seria 86 graus, o que resulta de erro aritmético na soma ou na divisão. E (112 graus) está errada porque subtrai 72 de 184, esquecendo de dividir o arco por 2.
💡 Dica: Some os arcos BC e CD para obter o arco BD interceptado por BÂD; depois compare os ângulos.
Alternativa por alternativa
O aluno obtém um valor incorreto para o ângulo inscrito, sem partir do arco BCD, e então subtrai 72 graus, chegando a uma diferença de 56 graus. Falta a relação correta entre o ângulo inscrito e seu arco.
O aluno considera o arco BAD, que contém o vértice A, em vez do arco BCD, que é o arco determinado pelo ângulo inscrito. Obtém 176 / 2 = 88 graus e, ao subtrair 72, encontra 16 graus.
O aluno faz um erro de cálculo ao somar os arcos ou ao dividir por 2 e chega a 86 graus para BÂD. Ao subtrair 72, obtém 14 graus. O procedimento está certo, mas a conta não.
Por que engana: Usar o arco maior ou somar arcos que não são interceptados por BÂD.
O ângulo inscrito BÂD intercepta o arco BCD, cuja medida é 116° + 68° = 184°. Assim, BÂD mede metade desse arco, ou 92°. O ângulo central AÔB mede 72°, igual ao arco AB; portanto, a diferença é 92° - 72° = 20°.
O aluno confunde a medida do ângulo inscrito com a do arco, usando 184 graus diretamente como BÂD. Esquece que o ângulo inscrito vale metade do arco e subtrai 72, obtendo 112 graus.
Raio-X da questão
Ângulo inscrito mede a metade do arco interceptado; ângulo central tem a medida do arco correspondente.
fixacao
Soma das medidas dos arcos de uma circunferência · Identificação do arco interceptado por um ângulo inscrito
Relação entre arcos, ângulos inscritos e ângulos centrais
Usar o arco maior ou somar arcos que não são interceptados por BÂD.
cotidiano
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