Em uma instalação artística, três projetores A, B e C são posicionados, nessa ordem, sobre a borda de uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma instalação artística, três projetores A, B e C são posicionados, nessa ordem, sobre a borda de uma plataforma circular. O ângulo formado pelas direções de A para B e de A para C mede 27°. A equipe técnica também registrou que o arco AB é 36° maior que o arco BC. Os arcos AB e BC são consecutivos na borda, e O é o centro da plataforma. Qual é a medida do ângulo central AOB?
- A) 63°
- B) 72°
- C) 90°
- D) 81°
- E) 108°
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. Os pontos A, B e C estão sobre a circunferência, nessa ordem. O ângulo BAC = 27° é um ângulo inscrito, e seu arco correspondente é o arco BC (o que não contém A).
- Pela propriedade do ângulo inscrito, o ângulo inscrito vale metade do arco que ele determina. Logo, arco BC = 2 x 27° = 54°.
- O enunciado diz que o arco AB é 36° maior que o arco BC. Então arco AB = 54° + 36° = 90°.
- O ângulo central AOB é igual à medida do arco AB que ele determina. Portanto, AOB = 90°.
- Conferência: o arco AC que contém B mede 90° + 54° = 144°, e o ângulo inscrito BAC continua valendo metade do arco BC, ou seja, 27°. Os dados são consistentes.
- Por que as outras estão erradas. A (63°) soma 27° com 36°, misturando um ângulo inscrito com uma diferença de arcos. B (72°) dobra o 36°, ignorando que o arco AB depende do arco BC e não do 36° isolado. D (81°) multiplica 27° por 3, o que não corresponde a nenhuma relação do enunciado. E (108°) dobra o arco BC, supondo que AB seria o dobro de BC e ignorando a diferença de 36°. Gabarito oficial C confirmado: 90°.
💡 Dica: Use o ângulo inscrito para obter o arco AC; relacione esse arco aos arcos AB e BC pela diferença dada.
Alternativa por alternativa
Somou o ângulo inscrito de 27° com a diferença de 36° entre os arcos, tratando essas grandezas como se fossem somáveis diretamente.
Por que engana: Atribuir ao arco AB a medida do ângulo inscrito, sem considerar que este mede metade do arco AC.
Calculou o dobro da diferença de 36° e tomou esse valor como o arco AB, sem partir do arco BC obtido pelo ângulo inscrito.
O ângulo inscrito BAC mede metade do arco BC, então esse arco mede 54°. Como o arco AB é 36° maior, mede 90°. O ângulo central AOB tem a mesma medida do arco AB que intercepta.
Acreditou que o arco AB é o triplo do ângulo inscrito de 27°, sem usar a relação entre ângulo inscrito e arco correspondente.
Supôs que o arco AB é o dobro do arco BC (2 x 54° = 108°), ignorando que o enunciado indica uma diferença de 36° entre eles.
Raio-X da questão
Relação entre ângulo inscrito, arco interceptado e ângulo central.
fixacao
Relação entre ângulo inscrito e arco interceptado. · Soma e diferença de medidas de arcos de circunferência.
Arcos consecutivos e soma das medidas dos arcos.
Atribuir ao arco AB a medida do ângulo inscrito, sem considerar que este mede metade do arco AC.
abstrato
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