Em uma instalação artística circular, quatro setores consecutivos formam uma circunferência completa. Para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma instalação artística circular, quatro setores consecutivos formam uma circunferência completa. Para conferir o projeto, a equipe registrou, para cada setor, a medida do ângulo central e a de um ângulo inscrito que subtende o mesmo arco. Um dos registros do ângulo inscrito contém um erro, e a medida do ângulo central do setor D não foi anotada. | Setor | Ângulo central | Ângulo inscrito correspondente | | A | 84° | 42° | | B | 112° | 56° | | C | 96° | 52° | | D | não registrado | 35° | Considerando que os quatro setores cobrem toda a circunferência, qual é a medida do arco do setor D após identificar e desconsiderar o registro inconsistente?
- A) O registro inconsistente é o do setor C, pois o ângulo inscrito deveria medir 48°. Considerando os setores B e C, o arco do setor D mede 152°.
- B) O registro inconsistente é o do setor C, pois o ângulo inscrito deveria medir 48°. Os ângulos centrais dos setores A, B e C somam 292°, portanto o ângulo central e a medida do arco do setor D são 68°.
- C) O registro inconsistente é o do setor C, pois o ângulo inscrito deveria medir 48°. Usando esse valor na soma dos ângulos centrais, o arco do setor D mede 116°.
- D) O registro inconsistente é o do setor C, pois o ângulo inscrito deveria medir 48°. Considerando os setores A e C, o arco do setor D mede 180°.
- E) O registro inconsistente é o do setor C, mas seu ângulo inscrito de 52° é usado como se fosse o ângulo central. Com essa soma, o arco do setor D mede 112°.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Relação entre ângulo central e inscrito. Um ângulo inscrito que subtende o mesmo arco que um ângulo central mede a metade desse ângulo central. Assim, para cada setor, o ângulo central deve ser o dobro do inscrito.
- Conferência dos registros. Setor A: 2 x 42 = 84, coerente com o central de 84. Setor B: 2 x 56 = 112, coerente com o central de 112. Setor C: 2 x 52 = 104, mas o central registrado é 96; o valor esperado para o inscrito seria 96 / 2 = 48. Logo, o registro inconsistente é o do setor C.
- Desconsiderando o registro inconsistente, somamos os ângulos centrais confiáveis dos setores A, B e C: 84 + 112 + 96 = 292 graus.
- Como os quatro setores cobrem toda a circunferência, a soma dos arcos é 360 graus. Então o arco do setor D é 360 - 292 = 68 graus, e o ângulo central do setor D também é 68 graus.
- Por que as outras alternativas estão erradas. A: subtrai apenas B e C (360 - 112 - 96 = 152), ignorando o setor A. C: usa 48 como ângulo central do setor C, quando 48 é o ângulo inscrito; a soma 84 + 112 + 48 = 244 leva a 116. D: considera apenas os setores A e C (84 + 96 = 180), ignorando o setor B. E: usa o ângulo inscrito de 52 como se fosse central, chegando a 84 + 112 + 52 = 248 e 112 graus.
- Observação. O registro de 35 graus para o setor D também não bate exatamente com o resultado, pois 68 / 2 = 34. Como o enunciado pede a medida após desconsiderar apenas o registro inconsistente, a resposta fica em 68 graus pelo complemento da circunferência, mas vale conferir a medição do setor D no projeto.
💡 Dica: Compare cada ângulo inscrito com metade do central; depois some os centrais válidos e subtraia de 360°.
Alternativa por alternativa
O aluno considera somente os setores B e C na soma, esquecendo que o setor A também faz parte da circunferência. Assim, subtrai 112 + 96 de 360 e obtém 152.
Um ângulo inscrito mede metade do ângulo central que subtende; assim, no setor C, 96° corresponde a 48°, não a 52°. Como os ângulos centrais dos quatro setores somam 360°, o setor D mede 360° - (84° + 112° + 96°) = 68°. A medida do arco é igual à do ângulo central correspondente.
O aluno confunde ângulo inscrito com ângulo central e usa 48 (o inscrito correto do setor C) como se fosse o central. Com 84 + 112 + 48 = 244, chega a 116 graus.
O aluno soma apenas os setores A e C, ignorando o setor B, e obtém 84 + 96 = 180. Com isso, conclui que o restante da circunferência é 180 graus.
O aluno mantém o ângulo inscrito de 52 graus do setor C e o usa como ângulo central na soma, o que mistura os dois conceitos. Com 84 + 112 + 52 = 248, chega a 112 graus.
Por que engana: Usar o ângulo inscrito como se fosse central ou incluir o registro inconsistente na soma.
Raio-X da questão
Relação entre ângulo inscrito e central; soma dos ângulos centrais da circunferência.
avaliacao
Soma dos ângulos em uma volta completa: 360°. · Identificação de ângulos correspondentes ao mesmo arco.
Ângulo inscrito mede metade do ângulo central que subtende o mesmo arco.
Usar o ângulo inscrito como se fosse central ou incluir o registro inconsistente na soma.
abstrato
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