MatemáticaENEMBNCC EM13MAT303Difícil⏱ longo

Uma associação que organiza uma mostra de cinema dispõe de R$ 10.000,00 para investir por um período de até 36…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT303

Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Uma associação que organiza uma mostra de cinema dispõe de R$ 10.000,00 para investir por um período de até 36 meses. Uma instituição oferece rendimento simples de 1,8% ao mês, sem tarifa. Outra oferece rendimento composto de 1,5% ao mês, mas cobra uma tarifa única de R$ 120,00 no momento da aplicação. Considere que a tarifa é descontada do valor investido e que não há outros impostos ou custos. Compare os montantes disponíveis ao final de cada mês nas duas opções. Determine o primeiro mês inteiro em que a aplicação com rendimento composto passa a oferecer um montante maior que a aplicação com rendimento simples. Apresente as expressões usadas, mostre como localizou esse mês e justifique por que a opção composta não havia sido superior antes.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Na aplicação simples, o montante após n meses é S(n) = 10.000(1 + 0,018n). Na composta, descontada a tarifa inicial, é C(n) = 9.880(1,015)^n. Para n = 29, S(29) = R$ 15.220,00 e C(29) é aproximadamente R$ 15.208,00; portanto, a aplicação composta ainda é inferior. Para n = 30, S(30) = R$ 15.400,00 e C(30) é aproximadamente R$ 15.436,00, superando a simples. Assim, o primeiro mês inteiro em que a opção composta oferece montante maior é o 30º. A diferença C(n) - S(n) é uma função convexa, pois sua segunda derivada é positiva; sua derivada cresce e se anula uma única vez, de modo que a diferença primeiro decresce e depois cresce. Como aos 29 meses ainda é negativa e aos 30 é positiva, não ocorreu cruzamento anterior.

Explicação

As expressões representam, respectivamente, crescimento linear sem tarifa e crescimento exponencial sobre R$ 9.880,00. A comparação nos meses 29 e 30 identifica a primeira ultrapassagem; a convexidade da diferença, que primeiro decresce e depois cresce, descarta um cruzamento anterior.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom analisar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

Comparação entre juros simples e compostos com tarifa inicial.

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Cálculo de porcentagem e juros simples. · Potenciação e juros compostos.

📚 Reveja

Crescimento linear e exponencial dos montantes.

⚠️ Erro mais comum

Comparar apenas as taxas mensais ou esquecer que a tarifa reduz o capital aplicado na opção composta.

🌎 Tema transversal

Educação financeira.

🤝 Socioemocional

Persistência na resolução de problema.

🏫 Contexto

cotidiano

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