Uma equipe de monitoramento instala um sensor fixo para delimitar, em um mapa, a borda de uma área circular de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma equipe de monitoramento instala um sensor fixo para delimitar, em um mapa, a borda de uma área circular de observação. Inicialmente, a borda reúne os pontos situados a 40 m do sensor. Para ampliar a área, a equipe considera alterar essa distância para 50 m, mantendo o sensor no mesmo lugar. Para comparar os comprimentos das bordas, pode-se usar C = 2pir, em que r é a distância fixa ao centro. Considerando a mudança planejada, como a circunferência que delimita a área será alterada em relação à inicial?
- A) A borda permanecerá circular e com o mesmo centro, mas seu comprimento passará de 80pi m para 125pi m, com aumento de 45pi m, ao aplicar ao comprimento a razão entre os raios elevada ao quadrado.
- B) A borda manterá o mesmo centro, mas os 40 m e 50 m indicam diâmetros; assim, seu comprimento passará de 40pi m para 50pi m, com acréscimo de 10pi m.
- C) A borda continuará sendo uma circunferência com o mesmo centro, mas ficará 10 m mais distante dele em todos os pontos; seu comprimento aumentará de 80pi m para 100pi m, um acréscimo de 20pi m.
- D) A borda continuará centrada no sensor e seu comprimento aumentará proporcionalmente ao raio: como a distância cresce 10 m, o comprimento passará de 80pi m para 88pi m, um acréscimo de 8pi m.
- E) A borda continuará sendo uma circunferência de mesmo centro, e seu comprimento passará de 80pi m para 120pi m, aumentando 40pi m, pois a alteração da distância deve ser somada duas vezes ao raio.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. Na situação inicial, a distância ao sensor, que é o raio da borda, é r = 40 m. O comprimento inicial é C = 2 x pi x 40 = 80pi m. Na situação planejada, o raio passa a ser r = 50 m. O novo comprimento é C = 2 x pi x 50 = 100pi m.
- Calcule a variação. O acréscimo no comprimento é 100pi - 80pi = 20pi m. O aumento do raio é 50 - 40 = 10 m, e a borda continua centrada no sensor, pois ele não é movido.
- Analise a relação entre as grandezas. Como C = 2pir é diretamente proporcional ao raio, o comprimento cresce na mesma proporção do raio, e não na proporção do quadrado do raio. Por isso a razão entre os raios (50/40 = 5/4) multiplica o comprimento inicial, e não sua versão elevada ao quadrado.
- Conclusão. A alternativa C descreve corretamente a mudança: a borda continua circular, com o mesmo centro, fica 10 m mais distante dele em todos os pontos, passa de 80pi m para 100pi m e tem acréscimo de 20pi m. O gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A usa a razão ao quadrado, o que não se aplica a comprimentos. A alternativa B trata 40 m e 50 m como diâmetros, mas o enunciado fala em distância ao centro, ou seja, raio. A alternativa D aplica um aumento percentual de 10% ao comprimento, em vez de usar a proporção real do raio. A alternativa E soma a variação duas vezes ao raio, o que não corresponde à mudança de 40 m para 50 m.
💡 Dica: Substitua cada raio em C = 2pir e subtraia os comprimentos.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que o comprimento da circunferência varia com o quadrado da razão entre os raios, como ocorre com a área. Assim, aplica (50/40)^2 a 80pi e obtém 125pi.
O aluno interpreta 40 m e 50 m como diâmetros, e não como distâncias ao centro. Com isso usa raios de 20 m e 25 m, o que leva a 40pi m e 50pi m.
Por que engana: Aplicar ao comprimento a razão entre os raios ao quadrado, como se fosse área.
A circunferência é o conjunto dos pontos que estão a uma distância fixa do centro. Como o raio passa de 40 m para 50 m e o centro não muda, cada ponto da nova borda fica 10 m mais longe do sensor. Pela fórmula C = 2pir, os comprimentos são 80pi m e 100pi m, cuja diferença é 20pi m.
O aluno percebe que o comprimento cresce com o raio, mas trata o aumento de 10 m como um acréscimo de 10% sobre 80pi. Esse cálculo produz 88pi, mas não corresponde à proporção real entre 40 e 50.
O aluno acredita que a variação de 10 m deve ser somada duas vezes ao raio, o que daria um raio de 60 m. Confunde a variação da distância com uma variação do diâmetro ou do dobro do raio.
Raio-X da questão
Comprimento da circunferência: C = 2pir.
Calcular e comparar
Identificar o raio como distância do centro à borda. · Substituir valores em uma expressão algébrica simples.
Distinção entre raio, diâmetro, circunferência e área.
Aplicar ao comprimento a razão entre os raios ao quadrado, como se fosse área.
Monitoramento de uma
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